I punti $M,N$ si trovano rispettivamente sui lati $CD$ e $BC$ di un quadrato $ABCD$. Il perimetro del triangolo $\triangle MCN$ è uguale al doppio della lunghezza del quadrato stesso. Determinare $\angle MAN$ .
Questo problema lo sto tentando da un pò in conti ( leggasi analitica e trigonometria) ma purtroppo o i conti diventano disumani oppure all'ultimo passaggio non riesco a concluderli. Qualche buona anima potrebbe risolverlo? Anche in sintetica va bene
Sia [tex]WLOG[/tex] unitario il lato del quadrato. Allora se [tex]BAN=φ[/tex] e [tex]DAM=ψ[/tex], segue che [tex]MC=1-tanψ[/tex] e che [tex]NC=1-tanφ[/tex]. Quindi per Pitagora [tex]MN^2=(1-tanφ)^2+(1-tanψ)^2[/tex]. Ponendo la condizione del problema [tex]MC+NC+MN=2[/tex] in funzione di [tex]φ, ψ[/tex] si ottiene [tex]tanφ+tanψ=1-(tanφ)(tanψ)[/tex], ossia [tex]tan(φ+ψ)=1[/tex]. Siccome [tex]φ+ψ<90°[/tex] dev'essere [tex]φ+ψ=45°[/tex]. In conclusione [tex]MAN=90°φ--ψ=90°-45°=45°[/tex] ●
Che sono scemo! Mi ero concentrato su quell'angolo da determinare senza invece pensare agli altri due! Ok, comunque è giusta ovviamente. In compenso dovrei aver trovato quella sintetica, casomai dopo la posto.
