Lemma 1: Sia [tex]ABC[/tex] un triangolo, sia [tex]\Gamma[/tex] una circonferenza passante per [tex]B,C[/tex], che interseca [tex]AC, AB[/tex] in [tex]X,Y[/tex]. Siano [tex]l,r[/tex] due rette isogonali rispetto all'angolo [tex]\angle BAC[/tex], e siano [tex]E\equiv l\cap XY, F\equiv l\cap CB, G\equiv r\cap XY, H\equiv r\cap CB[/tex]. Allora [tex]EFGH[/tex] è ciclico.
Dimostrazione: [tex]\angle FEG= \angle YEA = \pi - \angle XYA - \angle YAE =\pi - \angle ACB - \angle HAC[/tex] (per l'ultima uguaglianza è stata sfruttata la ciclicità di [tex]XYBC[/tex] e il fatto che [tex]l, r[/tex] sono isogonali)
[tex]\angle FHG = \angle + \angle ABC[/tex]
Ora, [tex]\angle FHG + \angle FEG = \pi[/tex], da cui la ciclicità.
Lemma 2: Sia [tex]ABC[/tex] un triangolo, [tex]\Gamma[/tex] la sua circoscritta. Siano [tex]l, r[/tex] due rette isogonali rispetto all'angolo [tex]\angle BAC[/tex]. [tex]\Gamma \cap l \equiv X, \Gamma \cap r \equiv Y[/tex]. Allora [tex]XY[/tex] è parallela a [tex]BC[/tex]
Dimostrazione: Sia inoltre [tex]Q\equiv XA \cap BC[/tex].
[tex]\angle CQA = \angle CBA + \angle BAQ[/tex]
[tex]\angle YXA = \angle YXC + \angle CXA = \angle YAC + \angle CBA = \angle BAQ + \angle CBA[/tex] (ho usato il fatto che [tex]r, l[/tex] sono isogonali)
Essendo [tex]\angle CQA=\angle YXA[/tex], si ha il parallelismo tra [tex]XY[/tex] e [tex]BC[/tex].
Generalizziamo il problema originale!
"Il quadrilatero [tex]ABCD[/tex] è inscritto in un cerchio di centro [tex]O[/tex], e ha gli angoli in [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] ottusi. Sia [tex]E[/tex] l’intersezione di [tex]AB[/tex] e [tex]CD[/tex]. Siano [tex]l, r[/tex] due rette isogonali rispetto all'angolo [tex]\angle AED[/tex]. Siano [tex]R\equiv l\cap AD, S\equiv l\cap CB, Q\equiv r\cap AD, P\equiv r\cap CB[/tex]. Sia [tex]\Gamma[/tex] la circoscritta al quadrilatero [tex]PQRS[/tex] (che è ciclico per Lemma 1), sia [tex]K[/tex] il centro di [tex]\Gamma[/tex]. Dimostrare che [tex]E,K,O[/tex] sono allineati."
Ora, definiamo un po' di cose.
Sia [tex]\omega[/tex] la circoscritta a [tex]ABCD[/tex].
Siano [tex]\phi_1,\phi_2[/tex] le circonferenze circoscritte a [tex]EBC[/tex], [tex]EAD[/tex].
Siano [tex]X_1, X_2[/tex] le intersezioni tra [tex]l, r[/tex] e [tex]\phi_1[/tex].
Siano [tex]Y_1, Y_2[/tex] le intersezioni tra [tex]l, r[/tex] e [tex]\phi_2[/tex].
Lemma 3: [tex]X_1X_2Y_1Y_2[/tex] è un quadrilatero ciclico.
Dimostrazione: Sia [tex]\Psi[/tex] l'inversione di centro [tex]E[/tex] e raggio [tex]\sqrt{pot_{\omega}(E)}[/tex].
Chiaramente, [tex]\Psi(B)=A[/tex] (e simmetrica) e [tex]\Psi(C)=D[/tex] (e simmetrica).
[tex]\Psi(\omega) =\omega[/tex] (segue dalla riga precedente)
[tex]\Psi(l)=l[/tex] e [tex]\Psi(r)=r[/tex], poichè rette passanti per il centro.
[tex]\Psi(BC)=\phi_2[/tex] e [tex]\Psi(AD)=\phi_1[/tex] poichè rette non passanti per il centro.
Dato che [tex]S\equiv BC \cap l[/tex], [tex]\Psi(S)\equiv \Psi(BC)\cap \Psi(l)\equiv \phi_2 \cap l \equiv Y_1[/tex]
Analogamente, [tex]\Psi(R)=X_1[/tex], [tex]\Psi(P)=Y_2[/tex], [tex]\Psi(Q)=X_2[/tex].
Da cui [tex]\Psi(\Gamma)[/tex] è la circoscritta a [tex]X_1X_2Y_1Y_2[/tex], che quindi è un quadrilatero ciclico di centro [tex]O'[/tex]
In particolare (per simmetria) si ha che [tex]K, E[/tex] e [tex]O'[/tex] sono allineati. (*)
Lemma 4: [tex]O'\equiv = O[/tex]
Dimostrazione: Per Lemma 2 ho che [tex]BC \mid \mid X_1X_2[/tex], inoltre [tex]X_1,X_2,B,C[/tex] appartengono ad una stessa circonferenza, quindi [tex]X_1X_2BC[/tex] è un trapezio isoscele, da cui l'asse di [tex]X_1X_2[/tex] coincide con l'asse di [tex]BC[/tex]. Analogamente si ottiene che l'asse di [tex]Y_1Y_2[/tex] coincide con l'asse di [tex]AD[/tex].
Quindi, [tex]O'[/tex], che è l'intersezione tra gli assi di [tex]X_1X_2[/tex] e [tex]Y_1Y_2[/tex] è l'intersezione tra gli assi di [tex]BC[/tex] e [tex]AD[/tex], che non è altro che [tex]O[/tex]; da cui [tex]O\equiv O'[/tex].
Per (*) e Lemma 4 si ha che [tex]O, E, K[/tex] sono allineati.
