Rapporti costanti in Austria

[Ale99]

Siano $A$, $B$ e $C$ tre punti su una retta , in questo ordine .
Per ogni circonferenza $\Gamma$ che passa per $B$ e $C$, sia $D$ il punto d'intersezione dell'asse di $BC$ con $ \Gamma$.
Inoltre, sia $E$ il secondo punto di intersezione di $AD$ with $\Gamma$ .
Dimostrare che per ogni circonferenza $\Gamma$, il rapporto $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{CE}}$ è costante .

[Giovanni98]

Sia $M$ la proiezione di $D$ su $BC$. Dimostriamo che la tesi equivale a dimostrare che il rapporto $\dfrac{EM}{MC}$ è costante. Per la ciclicità di $EDBC$ vale $\angle DEC = \angle DBC = \angle DCB$ dove l'ultima uguaglianza vale poichè $D \in $ asse di $BC$. Sia $F$ la proiezione di $D$ sulla retta $EB$. Per la ciclicità di $EDBC$ vale $\angle BEF = \angle DCB$ pertanto $FE = EM$ e $FB=BM$. Sempre per la ciclicità di $EBCD$ vale $\angle DCE = \angle EBD$ quindi i triangoli $BMF$ e $BCM$ sono ordinatamente congruenti, quindi $FB=MC$. Ne consegue che $EC = EM+MC$ e che $EB =MC-EM$ quindi $\dfrac{EB}{EC} = \dfrac{EC-MC}{EM+MC}$ che è costante se e solo se lo è il rapporto $\dfrac{EM}{MC}$. Sempre per la ciclcità di $EBCD$ vale $\angle EBA = \angle EDC = 180 - \angle DCA -\angle DCE$ pertanto $\angle EAB = \angle DCE$ e quindi i triangoli $DCE$ e $DAC$ sono ordinatamente simili. Sia ora $N$ il punto medio di $BC$, allora per la similitudine prima dimostrata vale $\dfrac{EM}{MC} = \dfrac{NC}{AN}$ che è chiaramente costante poichè $A,B,C$ sono fissi.

[Ale99]

Ok , che numero di Cese potrebbe essere secondo te ?

[Giovanni98]

Io non lo trovo semplicissimo. Secondo me anche 3 o 4.

[bern1-16-4-13]

Sennò senza stare a chiamare troppi nuovi punti si ha che $BE=\frac{AB\cdot DC}{AD}$ poiché $ABE\backsim ADC$, mentre $CE=\frac{AC\cdot DB}{AD}$ poiché $AEC\backsim ABD$.
Poiché $DB=DC$ il rapporto che cerchiamo sarà $\frac{AB}{AC}$ che è costante.

[bern1-16-4-13]

direi più cese 3

[Giovanni98]

Dopo la sol di bern possiamo pure definirlo un bel cese 1.

[bern1-16-4-13]

ahahaha, facciamo 2 e non se ne parla più

[Ale99]

Ok io lo ho risolto come bern , ma credo che Cese 2/3 vada bene comunque ...

[Giovanni98]

Aggiudicato allora xD