Innanzitutto buona Pasqua a tutti
Posto un problema che ho trovato carino, magari per qualcuno è semplice, quindi non uccidetelo subito:
Siano $a$, $b$, $c$ le misure dei lati di un triangolo. Sapendo che $a + b + c = 1$, dimostrare che $a^2 + b^2 + c^2 + 4abc \leq \frac{1}{2}$.
Pongo $a+b=F$ e $2ab=t$. Allora ho $F+c=1$ e $F^2-t+(1-F)^2+2t(1-F) = 2F^2 - 2F(1+t)+t+1 \leq \frac{1}{2}$. L'ultima disuguaglianza la scrivo come $$2F^2 - 2F(1+t)+t+\frac{1}{2} \leq 0$$Notiamo ora che il delta (in $F$) vale $4t^2$ e quindi deve valere $\frac{1}{2} \leq F \leq \frac{1}{2}+t$. La disuguaglianza $F \geq \frac{1}{2}$ è vera per la disuguaglianza triangolare e la seconda , che si riscrive come $a+b-2ab-\frac{1}{2} = (2a-1)(\frac{1}{2} - b) \leq 0$, è vera poichè $2a-1 \leq 0 \iff a \leq \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}-b \geq 0 \iff b \leq \frac{1}{2}$ che sono vere per la disuguaglianza triangolare.
EDIT : corretto un errore.
Ultima modifica di Giovanni98 il 29/03/2016, 11:34, modificato 1 volta in totale.
Se questo problema fosse uscito a Cesenatico nell'ultima manciata di anni sarebbe stato brutalmente assassinato in 30 secondi da chiunque avesse visto una volta nella vita la sostituzione magica
Testo nascosto:
$a = y + z$, $b = x + z$, $c = x + y$.
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre. Albert Einstein
Wow sto problema ha un bordello di soluzioni alternative, io fino ad ora ho trovato quella di cip999 con la Ravi's substitution, una con la disuaglianza triangolare che vi propongo di trovare, e questa:
Testo nascosto:
Cerchiamo di sfruttare al meglio quel bel vincolo omogeneizzando:
Considero ora il polinomio $P(a,b,c)= (a+b+c)^3- 2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)- 8abc$ , devo dimostrare che è $\geq 0$ ma il polinomio è equivalente a
$P(a,b,c)=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$ che è $\geq 0$ per la disuguaglianza triangolare applicata ai tre lati del triangolo !
P.S Ammetto che nell'ultimo passaggio non ho giustificato come arrivare a quella scomposizione, infatti ho fatto controllare a Wolfram che fossero equivalenti, ma diciamo che era abbastanza chiamato che fosse così, no? In caso, qualcuno potrebbe giustificare quel passaggio?
Vanno fatti i conti bene (elevando al quadrato e sostituendo quando serve, ad esempio ad un certo punto si sostituisce $2(ab + bc + ac) = (a + b + c)^2 - a^2 - b^2 - c^2 = 1 - (a^2 + b^2 + c^2)$) e dopo aver scritto tutto in modo "bello" e moltiplicato varie volte per $2$ esce $a^2 + b^2 + c^2 + 4abc = \frac{1}{2} - 8 \cdot A^2$ dove $A$ è l'area del triangolo e così hai finito.
Non scrivo tutti i conti perché non ho più il foglio, ma non dovrebbero essere affatto difficili
