Bulgaria 2014 1

[Rho33]

Sia $\Gamma $ un cerchio dato ed $A$ un punto fissato esterno a $\Gamma$. Sia $BC$ il diametro di $\Gamma$. Trovare il luogo degli ortocentri di $\triangle ABC$ al variare del diametro $BC$ .


P.S.1 Ovviamente e rigorosamente in sintetica!

P.S.2 Ho una soluzione totalmente in pura analitica che posterò in futuro e credo di essere sulla buona strada per quella sintetica, giusto il tempo di approfondire

Testo nascosto:

poli e polari

[alexthirty]

Sia $\Gamma $ un cerchio dato ed $A$ un punto fissato esterno a $\Gamma$. Sia $BC$ il diametro di $\Gamma$. Trovare il luogo degli ortocentri di $\triangle ABC$ al variare del diametro $BC$ .


P.S.1 Ovviamente e rigorosamente in sintetica!

P.S.2 Ho una soluzione totalmente in pura analitica che posterò in futuro e credo di essere sulla buona strada per quella sintetica, giusto il tempo di approfondire

Testo nascosto:

poli e polari

In analitica viene so easy in 2 minuti di conti abbastanza leggeri in sintetica non trovo niente

[Saro00]

Viene in messa riga dicendo che

Testo nascosto:

il luogo cercato é la polare di [tex]A[/tex] rispetto alla circonferenza iniziale

[Rho33]

Sì il luogo è quello, come si evince dal post iniziale, ma proprio mezza riga non è, a meno che non veda qualcosa di facile ( oppure, cosa più probabile, non so dimostrare i problemi con i luoghi geometrici )

[alexthirty]

Viene in messa riga dicendo che

Testo nascosto:

il luogo cercato é la polare di [tex]A[/tex] rispetto alla circonferenza iniziale

Come dimostri che gli ortocentri stanno tutti sulla polare?

[Lasker]

Si può fare anche (circa) senza conoscere fatti sulle polari, a suo tempo l'avevo risolto solo in sintetica mi pare e la parola "polare" non l'ho scritta (anche se moralmente faceva lo stesso la sua comparsa).

[Saro00]

Viene in messa riga dicendo che

Testo nascosto:

il luogo cercato é la polare di [tex]A[/tex] rispetto alla circonferenza iniziale

Come dimostri che gli ortocentri stanno tutti sulla polare?

Testo nascosto:

Se chiami [tex]C',B'[/tex] le seconde intersezioni tra [tex]AB, AC[/tex] con [tex]\Gamma[/tex] e [tex]D\equiv BC\cap B'C'[/tex], [tex]E\equiv B'C\cap C'B[/tex], si vede subito che [tex]E[/tex] é ortocentro di [tex]ABC[/tex].
Ma per un fatto noto sulle polari, il triangolo [tex]AED[/tex] e auto-polare, da cui [tex]pol_{\Gamma}(A)=DE[/tex], ma poiché [tex]A[/tex] é fisso al variare di [tex]BC[/tex], la polare sará una retta fissata, e [tex]E[/tex], l'ortocentro appartiene a questa retta

[Rho33]

Bhe, caro Saro, mi sa che devo davvero mettermi a studiare poli e polari per bene ( non stavo vedendo qualcosa di facile) Per curiosità, hai qualche raccolta di questi fatterelli che uno può divertirsi a dimostrare da solo, che potrebbero tornare utili anche in sintetica e non unicamente in proiettiva?