Gara di Firenze

[Backbuona]

Dato un triangolo [tex]ABC[/tex] si consideri l'altezza uscente da [tex]C[/tex] e la bisetrice uscente da [tex]B[/tex], si dica [tex]P[/tex] il loro punto di intersezione.
Dimostrare che il rapporto tra le aree dei triangoli [tex]APB[/tex] e [tex]APC[/tex] è un numero razionale

[alexthirty]

Testo nascosto:

Con [tex][ABC][/tex] si intende l'area del trangolo di vertici [tex]A, B, C[/tex].
Sia [tex]H[/tex] il piede dell'altezza uscente da [tex]C[/tex] e [tex]L[/tex] la proiezione di [tex]P[/tex] su [tex]BC[/tex].
L'area di [tex]\triangle APB[/tex] la troviamo con [tex][APB]=\frac{AB\cdot PH}{2}[/tex] mentre definiamo l'area di [tex]APC[/tex] come [tex][APC]=\frac{AB\cdot CH}{2}-[CPB]-[APB][/tex].
Quest'ultima vale [tex][APC]=\frac{AB\cdot CH}{2}-\frac{BC\cdot PL}{2}-\frac{AB\cdot PH}{2}[/tex].
Facciamo quindi il rapporto [tex]\frac{[APC]}{[APB]}=\frac{CH}{PH}-\frac{BC\cdot PL}{AB\cdot PH}-1[/tex]. Ricordando che, siccome [tex]P[/tex] appartiene alla bisettrice di [tex]B[/tex], allora è equidistante da [tex]BC, AB[/tex] e quindi [tex]PH=PL[/tex].
Il rapporto vale quindi [tex]\frac{[APC]}{[APB]}=\frac{CH}{PH}-\frac{BC}{AB}-1[/tex]. Per le ipotesi che i lati sono di lunghezza intera, possiamo dire che [tex]\frac{BC}{AB}-1[/tex] è razionale. Ci basta quindi mostrare che anche [tex]\frac{CH}{PH}[/tex] lo è. Riscriviamo come [tex]\frac{CP+PH}{PH}=1+\frac{CP}{PH}[/tex]. Ora, [tex]B[/tex] è bisettrice anche nel triangolo rettangolo [tex]BCH[/tex], da cui per il teorema della bisettrice [tex]\frac{CP}{PH}=\frac{BC}{BH}[/tex]. Ma [tex]BH=BC\cdot cos(B)[/tex]. Il problema è quindi diventato dimostrare che [tex]cos(B)[/tex] è razionale. Ma per il teorema di Carnot su [tex]ABC[/tex], [tex]cos(B)=\frac{BC^2+BA^2-AC^2}{2BC\cdot BA}[/tex] che per ipotesi è razionale. Quindi il rapporto tra le aree è razionale

E' probabilissimo ci siano typo ma vabbè