Sarebbe bello fare un'omotetia di centro $A$

[cip999]

Sia $\omega$ una circonferenza, $BC$ una sua corda, $A$ un punto variabile sull'arco maggiore $BC$. Sia $M$ il punto interno al segmento $AB$ tale che $AM = 2MB$ e sia $K$ la proiezione di $M$ su $AC$. Mostrare che $K$ descrive un arco di circonferenza al variare di $A$ su $\omega$.

[Giovanni98]

??

Testo nascosto:

Chiaramente l'arco di circonferenza descritto da $K$ al variare di $A$ passa per $B,C$ quando $A \equiv B$ e $A \equiv C$. Definiamo $A',M',K'$ come abbiamo definito $A,M,K$ (con ovvia corrispondenza) dove $A' \ne A$ e notiamo che se dimostriamo che $BCKK'$ è ciclico abbiamo finito. Per prima cosa notiamo che (1) $\angle BA'K' = \angle BAK$ poichè angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco. Poi, poichè $\angle M'K'A' = \angle MKA = \dfrac{\pi}{2}$ ho per differenza di angoli in un triangolo $\angle A'M'K' = \angle AMK$ quindi $\triangle AMK \approx \triangle A'M'K'$. Adesso dimostriamo che $\angle ABK = \angle A'BK'$ dimostrando che $\triangle ABK \approx \triangle A'BK'$ (2). Per la similitudine dimostrata in precedenza vale $\dfrac{AM}{AK}=\dfrac{M'A'}{A'K'} \Rightarrow \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{AM}{AK} =\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{A'M'}{A'K'}$ che è equivalente a $\dfrac{AB}{AK} = \dfrac{AB'}{A'K'}$ per come abbiamo definito $M$ ed $M'$. Ma quindi poichè vale (1) vale la similitudine (2) che dimostra l'uguaglianza di angoli che volevamo. A questo punto notiamo che $\angle A'CA = \angle ABA'$ poichè angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco. Ora se dimostriamo che $\angle KBK' = \angle KCK'$ dove per gli allineamenti di $A,K,C$ e $A',K',C$ vale $\angle KCK'= \angle ACA'$ dimostriamo la ciclicità di $BCKK'$. Notiamo che poichè possiamo scrivere $\angle KBK' = \angle KBA' + \angle A'BK'$ e $\angle ABA' = \angle ABK + \angle KBA'$ e che per (2) vale $\angle ABK = \angle A'BK'$ vale $\angle ABA' = \angle KBK'$ che dimostra la tesi.

[cip999]

Buona
Attento però che per $A = C$ non è vero che $K = C$ (grazie a Luca per l'osservazione).

[Giovanni98]

Sostanzialmente é anche inutile come cosa, é giusto per far capire come mi é venuta l'idea di sfruttare quella ciclicità. Grazie ad entrambi comunque

[lucaboss98]

Sostanzialmente é anche inutile come cosa, é giusto per far capire come mi é venuta l'idea di sfruttare quella ciclicità. Grazie ad entrambi comunque

In pratica sbagliando ti è andata bene ahah

[Giovanni98]

Si però oltre a rammentarmi il fail mi direste perché non é così? XD

[cip999]

Se $A$ va verso $C$ la retta $AC$ va verso la tangente a $\omega$ in $C$, $M$ va nel punto che sta a $1/3$ di $BC$ e conseguentemente $K$ nella proiezione di questo punto sulla tangente, che ovviamente è diverso da $C$.