[L04] Insolito ma carino

[bern1-16-4-13]

Fissato un sistema di riferimento cartesiano in $\mathbb{R}^3$, sia dato un triangolo $ABC$ con i vertici a coordinate intere.

Supponiamo che tra tutti i punti appartenenti al triangolo (lati compresi), ne esista solo uno a coordinate intere (oltre ai tre vertici, s'intende). Supponiamo inoltre che questo punto, che chiameremo (così a caso) $G$, non giaccia sui lati del triangolo.

Dimostrare che allora $G$ è il baricentro di $ABC$.

[Rho33]

Allora, o non vedo un errore madornale, oppure il problema viene in due righe ( comunque credo che il tuo riferimento sia fissato in $\mathbb{R}^2$ non in $\mathbb{R}^3$ , cioè nel classico piano cartesiano $x,y$ )

Testo nascosto:

Sia $G$ l'unico altro punto a coordinate intere oltre ad i tre vertici $A,B,C$ . Congiungiamo $G$ con i vertici del triangolo $\triangle ABC$ , ottenendo i tre triangoli $ \triangle GAB , \triangle GBC , \triangle GCA $ .

Applichiamo ora il famosissimo e utilissimo Teorema di Pick ( mai usato fino ad ora, che bello ! ) :

$S=I+ \dfrac {B}{2} -1$

dove $S$ è la superficie del poligono, $I$ è il numero di lattice points interni al poligono, $B$ è il numero di lattice points sul bordo .

Si ottiene che : $[\triangle GAB]=[\triangle GBC]=[\triangle GCA]= \dfrac {3}{2}-1 = \dfrac {1}{2} $

Sappiamo che esiste ed è unico il punto interno ad un triangolo che lo divide in tre triangoli equivalenti ed esso è proprio il baricentro ( riguardo l'unicità, supponendo per assurdo che un certo $P$ abbia la stessa proprietà, si ottiene che $P$ e $G$ hanno la stessa distanza dai tre lati del triangolo, quindi coincidono)

Inoltre, come remark, questa proprietà è ancora valida nello spazio e la ho postata in un topic ( tetraedri) .

Dove sbaglio?

[bern1-16-4-13]

Allora, mi dai l'opportunità di precisare una cosa:
il problema originario è effettivamente in $\mathbb{R}^2$, e la dimostrazione più semplice e immediata è quella che hai appena scritto. Io però ne avevo trovata anche un'altra un po' meno ovvia, che però ha la cosa interessante che resta valida anche in $\mathbb{R}^3$ (mentre invece Pick non vale pari pari in $\mathbb{R}^3$).
Quindi il testo del problema è corretto così come l'ho scritto, ecco dove sbagli
Poi non so, magari ci sono strade semplici di cui non mi sono accorto anche in $\mathbb{R}^3$...