[L03/04] Occhio ai punti!

[Gerald Lambeau]

Sia $\Gamma$ una circonferenze e siano $A, B$ due punti fissati su $\Gamma$. Sia $C$ un punto variabile su $\Gamma$ diverso da $A$ e $B$. Determinare, al variare di $C$, il luogo geometrico descritto dall'ortocentro di $ABC$.

[Rho33]

Io a suo tempo l'avevo fatto in analitica, ma i conti mi ricordo erano un bel pò ! Comunque il luogo richiesto è la circonferenza simmetrica di $\Gamma$ WRT la retta $AB$ privata delle immagini di $A,B$ . Domani ne posto una bella con le omotetie che sto approfondendo in questi giorni, sempre che nessuno mi anticipi

[Giovanni98]

Bhe, in realtà basterebbe anche uno dei lemmi più noti della geometria sintetica, ovvero che il simmetrico dell'ortocentro $H$ rispetto uno qualsiasi dei lati di un triangolo $ABC$ giace sulla circoscritta (di $ABC$ ovviamente). Quindi se io chiamo $C'$ la proiezione di $C$ su $AB$ si ha che $H,C',C$ sono allineati e che il simmetrico di $H$ (che indichiamo con $H'$) rispetto $BC$ sta sulla circoscritta. Ora se si fa variare $C$ sulla circonferenza si ha che $H'$ disegna la circonferenza circoscritta, esclusi ovviamente $A,B$ , quindi si ha che il luogo è proprio quello che hai detto tu.

[Gerald Lambeau]

Però il lemma noto ti dice che $H$ sta su quel luogo, non che tutti punti di quel luogo possono essere $H$
In realtà, se uno conosce la dimostrazione del lemma diventa banale.

[Giovanni98]

Quello deriva dal fatto che $H,H',C',C$ sono allineati !

[Gerald Lambeau]

A questo punto scrivi la dimostrazione

[Rho33]

Qui il topic di cui parlavo: http://forum.olimato.org/omotetie-t2613.html