)Lemma 1: Sia $\triangle ABC$ un triangolo e sia $\Gamma$ il cerchio inscritto. Sia $D$ il punto di tangenza di $\Gamma$ con $BC$ e sia $DT$ il diametro di $\Gamma$ . Se la retta $AT$ incontra $BC$ in $X$, dimostrare che $BD=CX$ .
Lemma 2 : Sia $\triangle ABC$ un triangolo e siano $D,E,F$ i piedi delle altezze da $A,B,C$. Siano inoltre $D',E',F'$ le ulteriori intersezioni delle altezze con la circoscritta ad $\triangle ABC$ . Dimostrare che $\triangle DEF$ e $\triangle D'E'F'$ sono simili.
Lemma 3: Con le solite notazioni, dimostrare che $HG=2GO$
Problema 1: Sia dato un semicerchio di diametro $AB$ e centro $O$ e sia $C$ un punto su $OB$. Sia inoltre $D$ un punto sul semicerchio tale che $CD,AB$ sono perpendicolari. Un cerchio di centro $P$ è tangente all'arco $BD$ in $F$ , al segmento $DC$ in $E$ ed al segmento $BC$ in $G$. Dimostrare che $\triangle ADG$ isoscele.
Problema 2: Sia $\Gamma$ una circonferenza e siano $A,B$ due punti distinti di $\Gamma$ non diametralmente opposti. Sia $P$ un punto variabile in $\Gamma$ diverso da $A,B$ e sia $H $ l'ortocentro del triangolo $\triangle ABP$ . Determinare il luogo descritto da $H$ al variare di $P$.