Stage Torino problema 4

[Rho33]

Sia $\triangle ABC$ un triangolo isoscele, con $AC=BC$ , e siano rispettivamente: $O$ il suo circocentro, $I$ il suo incentro, e $D$ il punto su $BC$ tale che $OD,BI$ sono perpendicolari. Dimostrare che $ID,AC$ sono paralleli.

[Giovanni98]

Siano $M$ ed $N$ i punti medi di $CB$ e $AC$ rispettivamente, sia $E:=OD \cap BI$.

Dal momento che $OD \perp BI$ si ha che $OEB = ONB = 90$ dove l'ultima uguaglianza vale poichè $AC=BC$, pertanto $OENB$ è ciclico. Questa ciclicità comporta $EOI = IBN = \beta / 2$. Per angoli opposti al vertice si ha $DOC = EOI = \beta / 2$. Poichè $OM \perp BC$ si ha che $EOMB$ è ciclico, quindi $COM = \beta$ e quindi $DOM = COM - DOC = \beta - \beta/2 = \beta /2$ quindi $OD$ è bisettrice dell'angolo $COM$. Sia $O'$ il riflesso di $O$ rispetto $M$. Notiamo allora che un'omotetia + rotazione di ampiezza pari a $\gamma / 2$ in senso antiorario centrata in $C$ manda il triangolo $CAB$ nel triangolo $COO'$ ed in particolare $CI$ in $CD$ e $CN$ in $CM$ , quindi vale $\dfrac{CD}{CM} = \dfrac{CI}{CN}$ che vuol dire $MN \parallel DI$. Ma $MN$ è ovviamente parallelo a $AC$ quindi $AC \parallel ID$.

[Rho33]

OK! Letta abbastanza velocemente ma usi come me una rotomotetia quindi è molto simile alla mia!