Cese 2013, 2

[Livex]

Nel triangolo [tex]ABC[/tex] supponiamo di avere [tex]BC>AC[/tex]. Sia [tex]M[/tex] il punto medio di [tex]AB[/tex], e siano [tex]\alpha, \beta[/tex] le circonferenze inscritte, rispettivamente, ai triangoli [tex]ACM[/tex] e [tex]BCM[/tex]. Siano poi [tex]A' , B'[/tex] i punti di tangenza di [tex]\alpha, \beta[/tex] con [tex]CM[/tex]. Dimostrare che [tex]\displaystyle A'B'=\frac{BC-AC }2[/tex]

Testo nascosto:

[tex](1)[/tex] Detti [tex]P,P'[/tex] i due punti di tangenza delle rette tangenti a una circonferenza passanti per uno stesso punto [tex]Q[/tex] esterno, vale [tex]PQ=P'Q[/tex].

Siano:

[tex]x[/tex] punto di tangenza di [tex]BC[/tex] con [tex]\beta[/tex]
[tex]x'[/tex] punto di tangenza di [tex]AB[/tex] con [tex]\beta[/tex]
[tex]y[/tex] punto di tangenza di [tex]AC[/tex] con [tex]\alpha[/tex]
[tex]y'[/tex] punto di tangenza di [tex]AB[/tex] con [tex]\alpha[/tex]

Usando a ripetizione il lemma [tex](1)[/tex], troviamo:
[tex]A'B'=B'C-A'C=CX-CY=(BC-BX)-(AC-AY)=(BC-BX')-(AC-AY')=BC-AC-(BX'-AY')[/tex]

Ora [tex]BX'=\frac{AB}2-MX'=\frac{AB}2-(MC-B'C)[/tex] e [tex]AY'=\frac{AB}2-MY'=\frac{AB}2-(MC-A'C)[/tex]

Sostituendo si trova:

[tex]A'B'=BC-AC-(BX'-AY')=BC-AC-(B'C-A'C)=BC-AC-A'B'[/tex] ovvero [tex]\displaystyle A'B'=\frac{BC-AC }2[/tex] che è la tesi.