(a).
Siano [tex]\alpha=\angle BAC= \angle DBC[/tex] e [tex]\beta=\angle BCD=\angle BAE[/tex]. Sia [tex]O[/tex] il centro della circoscritta a [tex]\triangle BDA[/tex], sta quindi sull'asse di [tex]BD[/tex]. Sia [tex]X[/tex] intersezione dell'asse di [tex]BD[/tex] con [tex]AB[/tex].
Chiaramente [tex]\angle BDC= \beta[/tex] per differenza di angoli, ovviamente [tex]\angle ABD=\beta- \alpha[/tex], dunque [tex]\angle AXE=180-(\beta - \alpha +90)=90+ \alpha - \beta[/tex] e infine [tex]\angle OEA=180-(\angle BAE + \angle AXE)=90- \alpha[/tex]
Avendo tutti gli angoli uguali, [tex]\triangle BDC \approx \triangle ABC[/tex] quindi possiamo scrivere [tex]DC \ : \ BC=BC \ : \ AC[/tex] ovvero [tex]BC^2=AC \cdot DC[/tex], cioè, visto che [tex]C[/tex] è un punto esterno, [tex]AC[/tex] è secante mentre [tex]BC[/tex] è tangente alla circoscritta a [tex]\triangle BDA[/tex] (perchè la potenza di C calcolata con la retta [tex]BC[/tex] è [tex]BC^2[/tex]), se è tangente, allora [tex]OB \perp BC[/tex] dunque [tex]\angle OBD=90-\alpha[/tex] ma [tex]\angle OBD= \angle ODB[/tex] quindi [tex]\angle OAD=\angle ODA=180-(\beta + 90- \alpha)=90+ \beta - \alpha[/tex], infine [tex]\angle OAE=\beta + \alpha - \angle OAD=2 \beta -90=90 - \alpha=\angle OEA[/tex], dunque [tex]\triangle OEA[/tex] è isoscele, allora [tex]E[/tex] sta sulla circoscritta e quindi [tex]BDAE[/tex] ciclico.
Infine [tex]\angle BEA=\angle BED+ \angle DEA=\angle BAD + \angle DBA= \alpha + \beta - \alpha= \beta[/tex] perchè [tex]\angle BED, \angle BAD[/tex] e [tex]\angle DBA, \angle DEA[/tex] insistono sulle stesse corde, dunque anche [tex]\triangle BEA[/tex] è isoscele, in particolare è congruente ad [tex]\triangle ABC[/tex] e quindi [tex]BE \| AC[/tex]
b
Fatta la costruzione, sia [tex]Z[/tex] intersezione di [tex]r, AB[/tex], sia [tex]J[/tex] intersezione di [tex]AB, s[/tex], sia[tex]W[/tex] intersezione di [tex]s, r[/tex] e [tex]Y[/tex] intersezione di [tex]t,r[/tex].
La tesi equivale a dimostrare [tex]W \equiv Y[/tex].
Si vede subito che [tex]\angle WJZ=90 -\alpha[/tex] e quindi [tex]\angle EWZ= \alpha[/tex].
Inoltre il quadrilatero[tex]EBYZ[/tex] è ciclico perchè i triangoli [tex]EBY, BYZ[/tex] sono rettangoli e hanno l'ipotenusa in comune. Dunque [tex]\angle EYZ= \angle EBZ= \alpha[/tex] perchè [tex]\triangle EBA \equiv \triangle ABC[/tex].
Cioè [tex]\angle EYZ=\angle EWZ[/tex], ma [tex]W,Y[/tex] stanno sulla stessa retta e nello stesso semipiano rispetto a [tex]EZ[/tex], perciò sono lo stesso punto e la tesi è dimostrata.