Tutte le pareti di una circonferenza danno a sud

[cip999]

Sia $\omega_1$ una circonferenza con centro in $O$. Sia $AB$ un diametro di $\omega_1$ e sia $C$ un punto di $\omega_1$ tale che $90^{\circ} < \widehat{AOC} < 180^{\circ}$. Sia $K$ un punto della retta $OC$ tale che $C$ sta tra $K$ e $O$, e sia $\omega_2$ la circonferenza con centro in $K$ e passante per $C$. Sia $E$ l'ulteriore intersezione tra la retta $KB$ ed $\omega_1$, e siano $S$ e $T$ i due punti di $\omega_2$ tali che le rette $ES$ ed $ET$ sono tangenti ad $\omega_2$.

Dimostrare che le rette $AC$, $EK$ ed $ST$ concorrono.

[Delfad0r]

Testo nascosto:

Sia $M$ l'intersezione di $ST$ e $EK$, nonchè il punto medio di $ST$. Sia $A'$ l'intersezione di $MC$ con la perpendicolare a $EK$ passante per $E$. Sia $Q$ un punto sulla tangente a $\omega_2$ in $C$ dalla stessa parte di $E$ rispetto a $OK$.
$E$ è polo di $ST$ rispetto a $\omega_2$, perciò $KM\cdot KE=KC^2$, ossia $KM:KC=KC:KE$, che implica $KMC\sim KCE$, ovvero $\angle KCE=\angle KMC$. Ma $\angle KMC=\frac{\pi}{2}+\angle SMC$ (assumendo $S$ dalla parte giusta) e $\angle KCE=\frac{\pi}{2}+\angle ECQ$, perciò $\angle ECQ=\angle SMC$. Infine, essendo $A'E$ e $SM$ entrambi perpendicolari a $KO$, abbiamo che $\angle SMC=\angle CA'E$, perciò $\angle CA'E=\angle ECQ$, dunque la circoscritta a $CEA'$ è tangente a $CQ$, dunque coincide con $\omega_1$, dunque $A=A'$, il che conclude.

Testo nascosto:

Per mostrare che le tre rette concorrono è sufficiente mostrare che i loro poli rispetto a $\omega_2$ sono allineati.
Il polo di $ST$ è $E$. Il polo di $EK$ è il punto all'infinito nella direzione perpendicolare a $EK$. Il polo di $AC$ è il punto $Q$ tale che $KQ\perp AC$ e $QC$ è la tangente comune a $\omega_1$ e $\omega_2$. È dunque sufficiente mostrare che $EQ\perp EK$.
$\angle CQK=\angle OCA=\angle OAC=\angle BAC=\angle BEC=\angle KEC$, quindi $ECKQ$ è ciclico, da cui $QEK=QCK=\frac{\pi}{2}$, che conclude.