Concorrenza in $L$ (o $K$ se preferite)

[Rho33]

Sia $\triangle ABC$ un triangolo . Siano $M_a,M_b,M_c$ i punti medi dei lati, $H_a,H_b,H_c$ i piedi delle altezze ed infine $F_a,F_b,F_c$ i punti medi delle rispettive altezze.

Dimostrare che $M_aF_a,M_bF_b,M_cF_c$ concorrono in $L$ (punto di Lemoine), chiamato anche $K$ (insomma, il coniugato isogonale del baricentro!)

[Gerald Lambeau]

Testo nascosto:

Coordinate baricentriche in $ABC$. $A=[1 : 0 : 0]$ e cicliche. $M_a=[0 : 1 : 1]$ e cicliche. $H_a=[0 : b^2+a^2-c^2 : c^2+a^2-b^2]$ e cicliche. $F_a=[2a^2 : 3a^2+b^2-c^2 : 3a^2+c^2-b^2]$ e cicliche.
Le tre rette $M_aF_a, M_bF_b, M_cF_c$ hanno le seguenti equazioni:
$(c^2-b^2)x+a^2y-a^2z=0$;
$-b^2x+(a^2-c^2)y+b^2z=0$;
$c^2x-c^2y+(b^2-a^2)z=0$.
Chiaramente il punto $L=[a^2 : b^2 : c^2]$, punto di Lemoine, soddisfa tutte e tre le equazioni e quindi è il punto dove le tre rette concorrono.

PS: cercando conferma che le coordinate fossero quelle del punto di Lemoine ho scoperto che questo problema era già uscito come il 23-esimo della staffetta di geometria su questo stesso forum.

[Rho33]

Ops, non sapevo che fosse già uscito! Il post dovrebbe essere questo http://forum.olimato.org/post11485.html ... ata#p11485

Comunque, dato che in nessuno dei due thread vi è una soluzione sintetica (o meglio, in nessuno dei due vi è una soluzione ), posto la mia (i dettagli ed i lemmi al lettore):

Testo nascosto:

Lemma 1: Sia $\triangle ABC$ un triangolo, $P,P'$ due coniugati isogonali, $X,Y,Z$ le proiezioni di $P'$ sui lati, in particolare su $BC,AC,AB$ ordinatamente (cioè $\triangle XYZ$ è pedale di $P'$), allora $AP$ è perpendicolare ad $YZ$ e $cyc$ .

Lemma 2: Sia $\triangle ABC$ un triangolo, $H$ il suo ortocentro, $O$ il suo circocentro, $M_a$ il punto medio del lato opposto ad $A$. Allora il simmetrico di $H$ rispetto ad $M$ sta sulla circoscritta ed è il simmetrico di $A$ rispetto ad $O$.

Lemma 3 (Teorema di Lemoine) Il punto di Lemoine di un triangolo è il baricentro del suo triangolo pedale.

Bene, ora non resta che usarli intelligentemente! Intanto, $G,K$ sono i nostri coniugati isogonali, in quest'ordine. Applicando il lemma 1 si ottiene che $AG$ e quindi $AM_a$ è perpendicolare ad $YZ$ e $cyc$ . Notando ora che $AYKZ$ è ciclico, si ottiene che $A,K$ sono diametralmente opposti.
Allora per il lemma 2 , considerando il triangolo $\triangle AYZ$ , detto $M_{YZ}$ il punto medio di $YZ$ , si ottiene che il simmetrico di $K$ rispetto ad $M_{YZ}$ è l'ortocentro di $\triangle AYZ$ (chiamiamolo $H_{YZ}$) , quindi appartiene ad $AM_a$. Da ciò segue che $X,K,H_{YZ}$ sono allineati. Applicando il lemma 3 abbiamo che $K$ è punto medio di $XH_{YZ}$. Inoltre si nota che $XH_{YZ},AH_a$ sono paralleli.
Infine, per Talete (o il suo inverso), $M_aK$ passa per il punto medio di $AH_a$ che è proprio $F_a$ . Ciclando tutto si ottiene la tesi.