Comunione di incherchi

[bern1-16-4-13]

Sia $ABC$ un triangolo e $\Gamma$ la sua circoscritta. Supponiamo che un punto $P$ interno ad $ABC$ sia tale che $$\frac{AP+PB}{AB}=\frac{BP+PC}{BC}=\frac{CP+PA}{CA}.$$
Siano adesso $A'=AP\cap\Gamma,\ B'=BP\cap\Gamma,\ C'=CP\cap\Gamma$.
Dimostrare che l'incerchio di $ABC$ e quello di $A'B'C'$ coincidono.