[L05] A nice one.

[Giovanni98]

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo. Sia $D$ un punto su $BC$ e siano $M$ e $N$ le proiezioni di $D$ sui lati $AB$ e $BC$ rispettivamente. Siano $H_1$ e $H_2$ gli ortocentri dei triangoli $AMN$ e $MND$ rispettivamente. Dimostrare che l'area del quadrilatero $BH_1CH_2$ non dipende dalla scelta di $D$.

[bern1-16-4-13]

$H_1$ e $H_2$ si ottengono a partire da $D$ e $A$ rispettivamente, tramite una simmetria rispetto al punto medio di $MN$. Questo perché sia $MH_1ND$ che $MANH_2$ sono parallelogrammi (i vari parallelismi si notano bene sfruttando le varie perpendicolarità). Allora si ha sia che $H_1H_2=AD$, e che $H_1H_2\parallel AD$.
Questo porta alla tesi perché possiamo quindi dire che la somma delle altezze (relative a $BC$) di $H_1BC$ e di $H_2BC$ è uguale all'altezza di $ABC$ relativa a $BC$.