Quando la geometria di terzo anno torna utile

[Rho33]

Sia $\triangle ABC$ un triangolo e siano $O,H$ rispettivamente circocentro e ortocentro. Dimostrare che esistono $D,E,F$ su $BC,CA,AB$ tali che

$$OD+DH=OE+EH=OF+FH$$

e tali che $AD,BF,CE$ concorrono.

[polarized]

Testo nascosto:

In cartesiane, ponendo un vertice nell'origine e l'altro in (2,0) ho ottenuto una schifezza di conti infattibili quando ho cercato OD e OH, mi dai un Hint? Pensavo di mettere l'origine nel punto medio tra O e H in maniera da avere un'ellisse trattabile ma le incognite si moltiplicherebbero a dismisura

[Rho33]

Metto alcuni hint via via più corposi (praticamente una soluzione spezzettata), ma faccio notare che il problema è abbastanza impegnativo (viene da una SL), quindi non credo che le cartesiane funzionino bene (infatti il titolo si riferiva più altro all'ellisse che alle coordinate )

Però, l'idea di mettere l'origine nel centro del cerchio dei nove punti non è cattiva, dovrebbe permetterti di dimostrare alcuni degli hint in cartesiane, senza però il fascino della sintetica

Hint 1 (praticamente niente ):

Testo nascosto:

$H,O$ sono coniugati isogonali

Hint 2 (già un avvio):

Testo nascosto:

Questo problema può tornare utile http://forum.olimato.org/carino-t2654.html

Hint 3 (avvio corposo):

Testo nascosto:

Il lemma arcinoto che ho usato nella mia soluzione al problema precedente può essere visto anche come corollario del suddetto problema, quindi è questo quello che serve

Hint 4 (verso la fine):

Testo nascosto:

Usare il lemma all' hint 3 per dimostrare questo fatto potentissimo: Sia $\epsilon$ una ellisse. Allora essa si può inscrivere in un triangolo se e solo se i fuochi sono coniugati isogonali.

Hint 5 (fine della dimostrazione):

Testo nascosto:

Per la concorrenza basta una proiettività che manda l'ellisse in...?

[polarized]

Grazio Rho33, dal titolo pensavo ti riferissi alla geometria analitica della terza e senza l'indicatore di difficoltà lo ho creduto abbordabile