Con riga e compasso

[Rho33]

Dati tre punti non allineati $A,B,C$ , costruire con riga e compasso tre circonferenze, a due a due tangenti in questi punti. Ovvero, chiamate $\Gamma ', \Gamma '', \Gamma '''$ le tre circonferenze, $A$ è punto di tangenza di $\Gamma ', \Gamma ''$ ,$B$ è punto di tangenza di $\Gamma '', \Gamma '''$ e $C$ è punto di tangenza di $\Gamma ''', \Gamma '$. Trovare inoltre eventuali casi in cui non è possibile costruirli.

[arna1998]

Sia $D$, $E$ e $F$ i centri delle circonferenze $\Gamma'$, $\Gamma''$ e $\Gamma'''$ rispettivamente. $DE$ contiene $A$, $EF$ contiene $B$ e $FD$ contiene $C$. Sia $O$ il circocentro di $\triangle ABC$, esso è equidistante dai tre vertici, quindi la potenza di $O$ rispetto alle tre circonferenze è uguale: $O$ è quindi il punto di concorrenza dei tre assi radicali. L'asse radicale di due circonferenze tangenti è la retta perpendicolare alla congiungente dei 2 centri e passante per il punto di tangenza, quindi $DE$ non è altro che la retta perpendicolare al segmento $AO$ passante per $A$ e analogamente si possono trovare gli altri due lati del triangolo $\triangle DEF$. Intersecando queste tre rette si trovano i tre centri delle circonferenze.
Se $\triangle ABC$ è rettangolo allora il circocentro sta sull'ipotenusa, quindi 2 delle tre perpendicolari che si tracciano risultano parallele, perciò uno dei tre centri non si trova. Quindi se $ABC$ è rettangolo allora non è possibile costruire i tre centri.

[Rho33]

Ottimo! Ore ne posto un altro, che però ancora non ho risolto e mi tormenta da un po'.