Essendo $\triangle BCF$ retto, $M$ è centro di $\odot (BCF)$. Per come sono definiti,$D$ è intersezione dell'asse di $AC$ e della simmetrica di $AB$ rispetto a $AC$ ed analogamente $E$ è l'intersezione dell'asse di $AD$ e della simmetrica di $AC$ rispetto ad $AD$ . I triangoli $\triangle ABF, \triangle ADC, \triangle DEA$ sono tutti isosceli simili. Sia $\alpha$ l'angolo alla base di ognuno di essi.
Lemma 1: $D,X$ appartengono a $\odot (BCF)$ e $X,D,E$ sono allineati.
Sia $K=AB \cap \odot (BCF)$. Essendo $BCFK$ ciclico, si ha che $\angle FBK= \angle FCK$ . Ma allora $\triangle KCA$ è isoscele, simile a tutti gli altri. Quindi $K$ sta sull'asse di $AC$ , così come $D$ , ed inoltre $AK,AD$ sono simmetriche rispetto ad $AC$. Quindi $D$ è simmetrico di $K$ rispetto ad un diametro e $D \in \odot (BCF)$.
$DE \parallel AF$ per angoli alterni interni, inoltre $XE \parallel AF$ perché $AMXE$ parallelogramma. Quindi $D \in XE$.
Dato che $MXEA$ parallelogramma, si ha che $\angle MXE= \angle EAM= 2 \alpha$. $\angle CDX= \alpha$ per angoli. Inoltre $\triangle MCD$ è isoscele, e dato che $\angle MDC= \angle MCD= \alpha$ si ha che $\triangle MDX$ è isoscele. Quindi $M$ è circocentro di $\odot (CXD)$ , ma dato che $MC=MD=MX$ , si ha che $X \in \odot (BCF)$. $\Box $
Dato che $\angle CMX= \angle MXD = 2 \alpha$ e $\angle KMF= 2 \alpha$ , unito al fatto che $C,M,F$ sono allineati per definizione, si ha che $K,M,X$ sono allineati[, quindi $K,X$ sono simmetrici rispetto al centro.
Lemma 2: $ABDE$, $AMDE$ sono ciclici.
$\angle DEA= 180^\circ -2 \alpha$ , $\angle DBA= 2 \alpha$. Quindi $ABDE$ ciclico. Analogamente si ha che $DE \parallel MA$ e $MD=MX=DE=AE$ quindi $AMDE$ è un trapezio isoscele. $\Box$
Da questo lemma segue inoltre che $ABMDE$ è ciclico. Dal lemma 1 si ottiene che $FBXD$ è ciclico. infine $MFEX$ è un trapezio isoscele, perché $MF \parallel EX$ e $MX=FE$ (si vede subito che $MFED$ è un parallelogramma).
Allora abbiamo finito:gli assi radicali di $\odot (ABMDE), \odot (FBXD), \odot (MFEX)$ concorrono nel centro radicale delle tre circonferenze, ma gli assi radicali sono proprio $BD,FX,ME$.
Posto qui la soluzione in spoiler, un commento sarebbe gradito (personalmente non l'ho trovato impegnativo, cioè nella mia soluzione uso solo cose super standard e mi ha impiegato meno di 1 ora) ! Secondo voi quale potrebbe essere il livello? Sapete come sono andati i nostri laggiù? Altre informazioni utili? Testo in inglese perché mi scoccia tradurlo 