Come in Eulero?

[Rho33]

Sia $\triangle ABC$ un triangolo, $\triangle DEF$ il suo triangolo mediale e siano $BB',CC'$ le bisettrici di $\angle CBA, \angle BCA$. Tracciamo la perpendicolare a $BB'$ per $E$ e la perpendicolare a $CC'$ per $F$ e sia $P$ la loro intersezione. Dimostrare che $PD$ biseca $\angle EDF$.

Bonus:Se non l'avete già trovata, scoprire la configurazione dietro questo bel problemino e trovare quante più informazioni possibili su di essa.

[Veritasium]

Quando le Olimpiadi (quelle in tv eh) sono noiose e quindi spulciare tra i G irrisolti è l'unica alternativa. Simpatico comunque!

Testo nascosto:

Sia $G$ il baricentro del nostro triangolo. Consideriamo la simpatica rotomotetia di centro $G$ e di fattore $2$ (o la simmetria rispetto al punto medio di $EF$ seguita da un omotetia di centro $A$ e paramentro $2$, o la simmetria rispetto al punto medio di $DF$ seguita da un omotetia di centro $B$ e parametro $2$, o... insomma viene anche per sbaglio) che manda il triangolo mediale nel nostro triangolo. Notiamo che essendo che $\angle EDF$ va in $\angle BAC$ la tesi è equivalente a $P'$ (l'immagine di $P$ rispetto alla trasformazione) giacente sulla bisettrice di $\angle BAC$. Per comodità siano $l_1, l_2$ le bisettrici da $B, C$ e $r, s$ le rispettive perpendicolari per $E, F$; essendo che questa rotomotetia manda rette in rette parallele, $r, s$ vanno rispettivamente nelle parpendicolari a $l_1, l_2$ per le immagini di $E,F$, ovvero per $B, C$, ovvero vanno nelle bisettrici degli angoli esterni in $B, C$, che concorrono nell'excentro, che appartiene anche alla bisettrice di $\angle BAC$. Done.

[Rho33]

Ok, bene! In realtà tutto si riassume come omotetia di fattore $- 2$ e centro $G$ Ora chi riesce a trovare la configurazione nascosta e dimostrare alcune delle simpatiche proprietà della...

Testo nascosto:

retta di Nagel?