Ancora Eulero

[Rho33]

Trivial(tanto per completezza): Sia $\triangle ABC$ un triangolo, sia $O$ il suo circocentro. Dimostrare che le tre rette di Eulero di $\triangle OAB, \triangle OAC, \triangle OBC$ concorrono in punto che si trova sulla retta di Eulero di $\triangle ABC$.


Easy: Sia $\triangle ABC$ un triangolo, sia $H$ il suo ortocentro. Dimostrare che le tre rette di Eulero di $\triangle HAB, \triangle HAC, \triangle HBC$ concorrono in punto che si trova sulla retta di Eulero di $\triangle ABC$.


Medium: Sia $\triangle ABC$ un triangolo, sia $I$ il suo incentro. Dimostrare che le tre rette di Eulero di $\triangle IAB, \triangle IAC, \triangle IBC$ concorrono in punto che si trova sulla retta di Eulero di $\triangle ABC$ (punto di Schiffler)

Hard?Sia $\triangle ABC$ un triangolo e sia $I$ il suo incentro. Sia $A_1$ il simmetrico di $I$ rispetto a $BC$ ($B_1,C_1$ analoghi). Dimostrare che $AA_1,BB_1,CC_1$ concorrono in un punto, chiamiamolo $J$. Dimostrare inoltre che $IJ$ è parallela alla retta di Eulero di $\triangle ABC$.


Nota: I primi tre li ho risolti e sono fattibili! L'ultimo l'ho trovato qualche giorno fa in fondo ad una lista di problemi tutt'altro che banali e ancora non ho uno straccio di soluzione

Chi si cimenta? E magari risolve l'ultimo?

P.S.Ovviamente in SINTETICA!

[Rho33]

Nonostante questo post non abbia riscosso tanto successo ( ), lo aggiorno con nuovi risultati assai importanti!

Innanzitutto ecco un bel teorema abbastanza cannonoso che permette di uccidere MOLTISSIMI problemi sulle concorrenze:

Teorema di Jacobi: Sia $\triangle ABC$ un triangolo e siano $A',B',C'$ tre punti del piano tali che: $$\angle C'AB= \angle B'AC, \angle C'BA= \angle A'BC, \angle A'CB= \angle B'CA$$
Allora $AA',BB',CC'$ concorrono.

Non sono ancora in possesso di una soluzione sintetica (trig-bash e Ceva-bash non sono sintetica ovviamente), purtroppo! (Quindi questo è un ulteriore esercizio!)

Questo teorema uccide all'istante la prima parte dell'esercizio Hard, in particolare il punto di concorrenza si chiama punto di Gray.

Inoltre, unito a cose davvero potenti, tipo teorema di Sondat et similia, uccide (quasi) all'istante l'esercizio Medium (ma garantisco che esiste una soluzione più umana)

Mentre cercavo di risolvere l'ultimo esercizio (ma ancora mi manca l'ultima parte), ho scoperto una formulazione equivalente di Ceva (sarà sicuramente nota a qualcuno, credo) che è la seguente (la dimostrazione è semplice, lo garantisco!):

Sia $\triangle ABC$ un triangolo e siano $D,E,F$ i piedi delle ceviane condotte da $A,B,C$ ai lati opposti. Sia $d(P,l)$ la distanza del punto $P$ dalla retta $l$.

$$\text{$AD,BE,CF$ concorrono} \ \ \iff \dfrac{d(D,AB)}{d(D,AC)}\cdot \dfrac {d(E,BC)}{d(E,AB)} \cdot \dfrac {d(F,AC)}{d(F,BC)}=1$$

In particolare, questo nuovo Ceva, dimostra anch'esso la prima parte dell'ultimo esercizio in modo piuttosto veloce e meno cannonoso di Jacobi:

Testo nascosto:

La tesi è ovviamente equivalente ad:

$$ \dfrac{d(A',AB)}{d(A',AC)}\cdot \dfrac {d(B',BC)}{d(B',AB)} \cdot \dfrac {d(C',AC)}{d(C',BC)}=1$$

Siano ora $M, N$ le proiezioni di $A'$ su $AC$ e di $B'$ su $BC$. Consideriamo i triangoli $\triangle A'CM, \triangle B'CN$, essi sono congruenti: $A'C=B'C $ (simmetrici rispetto ad $I$), sono rettangoli, $\angle MCA'= \angle NCB'$ (per triangoli isosceli evidenti). In particolare $A'M=B'N$ ovvero $d(A',AC)= d(B',BC)$. Ciclando tutto si ottiene la tesi!

[Lasker]

Io la dimostrazione la sapevo come "è noto che le due proprietà citate sono due modi circa equivalenti di dire che un determinato punto sta sulla cubica di Neuberg"

Dovresti provare a fare i mille problemi di Sala su Oliforum se ti piacciono questi cannoni sintetici!

[Rho33]

Ma questo è barare Cioè, usare la cubica di Neuberg per questi problemi è overkill Piuttosto, tempo fa avevo letto qualcosa sulle belle proprietà di questa cubica (mi pare ce ne sia un'altra equivalente: preso un punto $P$ ed il suo coniugato isogonale $Q$, se $PQ$ è parallela alla retta di Eulero del triangolo, allora le rette di Eulero dei tre triangoli concorrono). Sai dove potrei approfondire queste cose? Poiché googlando non ho trovato nulla di soddisfacente

Riguardo i problemi di Sala, credevo fossero fuori portata per chiunque e quindi non li ho mai nemmeno letti Però tentar non nuoce, specialmente se richiedono anche qualche bel teorema che conosco

[Lasker]

Si, sono fuori portata in genere, ma forse passandoci qualche giorno sopra ci si cava qualcosa! Purtroppo i fatti di geometria che conosco li ho googlati e basta più o meno, quindi non so nulla davvero di interessante su questi cannoni, se hai voglia di imparare il russo oppure il francese pare che qualcosa a caso si trovi (ma questo è per sentito dire ). Se un problema lo propone Sala servono cannoni oppure idee strane comunque! E poi il propositore sarebbe felice se qualcuno dei suoi problemi fosse risolto