Lemmi per il BMO di quest'anno

[Rho33]

Ho trovato una soluzione carina per il BMO 2 2016 (oltre che quella ufficiale che è meno carina perché usa solo cerchi dei nove punti ) che usa alcune proprietà della Newton-Gauss line! Posto la prima e se qualcuno risponde (cosa improbabile in sto periodo ), seguiranno le altre

Esistenza: Sia $\triangle ABC$ un triangolo e sia $l$ una retta che interseca $AB,AC,BC$ in $F,E,D$ rispettivamente. Siano $L,M,K$ i punti medi di $BE,CF,AD$ . Dimostrare che $L,M,K$ sono allineati. (la figura che si viene a formare si chiama quadrilatero completo, ma questo è noto!)

[Gerald Lambeau]

Sarò brutale:

Testo nascosto:

baricentriche in $ABC$, $A=[1:0:0], B=[0:1:0], C=[0:0:1]$, sia $lx+my+nz=0$ la nostra retta, intersecandola con i lati ($x=0, y=0, z=0$) otteniamo
$F=[m:-l:0], D[0:n:-m], E=[-n:0:l]$. Calcoliamoci dunque questi punti medi: $L=[-n:l-n:l], M=[m:-l:m-l], K=[n-m:n:-m]$.
La magica retta che passa per tutti e tre i punti, per la quale, provando io pietà per la mia tastiera e per le mie dita, ometterò i conti di verifica, è $(lm+ln-mn)x+(ml+mn-ln)y+(nl+nm-lm)z=0$.
Fine.

[Rho33]

Mamma mia Sei stato troppo brutale con quelle coordinate maledette Ok, la "soluzione" è corretta! Quanto prima posto la seconda proprietà, intanto per una soluzione sintetica carina (che scritta così è persino più corta di quella in baricentriche ) :

Testo nascosto:

Prendi il triangolo mediale di $\triangle ABC$ e vedi che i vertici sono allineati a due a due con uno dei punti $L,M,K$ (si vede in un attimo per omotetia). Menelao sul triangolo mediale per mostrare che $L,M,K$ sono allineati è equivalente (sempre per omotetia) a Menelao su $\triangle ABC$, per mostrare che $D,E,F$ sono allineati. Ma questo è vero per ipotesi, quindi fine