[L01/02] Quadrattangolo
[L01/02] Quadrattangolo
Il rettangolo in figura è formato da tre quadrati; mostrare che vale la relazione
[tex]\alpha=\beta+\gamma[/tex]
[tex]\alpha=\beta+\gamma[/tex]
Non hai i permessi necessari per visualizzare i file allegati in questo messaggio.
-
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Dopo pochi minuti spesi a provare la via sintetica ho abbandonato per prendere la strada dei conti.
Testo nascosto:
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Mi fido dei conti (magari qualcuno dei meno esperti potrebbe verificare per esercizio!).
Hint criptico per la soluzione sintetica:
Hint criptico per la soluzione sintetica:
Testo nascosto:
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Va beh, ho capito: non vi piace
Testo nascosto:
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Io ieri ne avevo trovata una carina (ma overkill e che richiede una costruzione in più). Per chi vuole farsi del male:
Testo nascosto:
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Ho fatto simile a Gerald Lambeau, ma ho usato le tangenti: $\tan \beta = 1/2$, $\tan \gamma = 1/3$ e $\tan {\beta+\gamma} = \dfrac{1/2+1/3}{1-1/2*1/3} = \dfrac{5/6}{5/6} = 1=\tan \alpha$, da cui $\alpha=\beta+\gamma$.
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Ho trovato una soluzione solo che non so come caricare la foto della figura con gli angoli e i vertici che ho segnato e senza di essa e impossibile capirla
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Con l'opzione "Invia allegato"!
Non hai i permessi necessari per visualizzare i file allegati in questo messaggio.
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Dimostri che due triangoli (i due ottusangoli che hanno un angolo $\gamma$ e uno $\beta$) sono simili perché hanno un angolo compreso e due lati proporzionali tra loro, quindi c'è un angolo congruente tra i due ($\gamma$), che si infila in un angolo, poi alterni interni e infili pure $\beta$ nell'angolo per dimostrare che $\alpha=\beta+\gamma$
(ma quanto son stato preciso? )
(ma quanto son stato preciso? )
Re: [L01/02] Quadrattangolo
Dimostrazione ( seguendo l'hint di Gizeta )
Il triangolo ABC è isoscele perchè il lato AC= AB ( perchè i due lati sono diagonali di due rettangoli congruenti).
Ne segue che l'angolo ACB = ABC.
L'angolo ACB =DCB (quindi a gamma) + l'angolo in ACD.
Inoltre il triangolo ACD = EFB perchè i due triangoli sono entrambi rettangoli e hanno i due cateti uguali.
quindi i due triangoli sono congruenti e in particolare l'angolo DCA = beta
quindi l'angolo ACB = gamma + beta.
L'angolo ABC = CBE + DBE + ABD.
l'angolo in CBE = beta - gamma ( si può vedere facilmente utilizzando il teorema di talete oppure che la somma degli angoli interni del triangolo CEB = 180)
l'angolo in DBE = alfa - beta ( basta utilizzare lo stesso metodo usato per CBE)
Infine l'angolo ABD = DBE perchè i triangoli BDE e BDA sono congruenti ( per il primo criterio hanno il lato DB in comune il lato DE= DA e l'angolo in BDA = BDE)
Quindi l'angolo ABC = beta - gamma + 2(alfa-beta)
Quindi ritorniamo all'eguaglianza iniziale ( l'angolo ACB = ABC).
Ne segue che:
gamma + beta = beta - gamma + 2(alfa-beta)
E Quindi
2gamma = 2alfa - 2beta
Infine dividiamo entrambi i membri per due ed otteniamo che:
gamma = alfa - beta ( oppure in altre parole gamma + beta = alfa)
Il triangolo ABC è isoscele perchè il lato AC= AB ( perchè i due lati sono diagonali di due rettangoli congruenti).
Ne segue che l'angolo ACB = ABC.
L'angolo ACB =DCB (quindi a gamma) + l'angolo in ACD.
Inoltre il triangolo ACD = EFB perchè i due triangoli sono entrambi rettangoli e hanno i due cateti uguali.
quindi i due triangoli sono congruenti e in particolare l'angolo DCA = beta
quindi l'angolo ACB = gamma + beta.
L'angolo ABC = CBE + DBE + ABD.
l'angolo in CBE = beta - gamma ( si può vedere facilmente utilizzando il teorema di talete oppure che la somma degli angoli interni del triangolo CEB = 180)
l'angolo in DBE = alfa - beta ( basta utilizzare lo stesso metodo usato per CBE)
Infine l'angolo ABD = DBE perchè i triangoli BDE e BDA sono congruenti ( per il primo criterio hanno il lato DB in comune il lato DE= DA e l'angolo in BDA = BDE)
Quindi l'angolo ABC = beta - gamma + 2(alfa-beta)
Quindi ritorniamo all'eguaglianza iniziale ( l'angolo ACB = ABC).
Ne segue che:
gamma + beta = beta - gamma + 2(alfa-beta)
E Quindi
2gamma = 2alfa - 2beta
Infine dividiamo entrambi i membri per due ed otteniamo che:
gamma = alfa - beta ( oppure in altre parole gamma + beta = alfa)
Non hai i permessi necessari per visualizzare i file allegati in questo messaggio.