[L05] So trivial to be China (pt.3)

[Veritasium]

$ABCD$ è inscritto in $(O)$, le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano in $P$. $\omega_1$ è una circonferenza per $B, P$, $\omega_2$ è una circonferenza per $A, P$, il secondo punto di intersezione di $\omega_1, \omega_2$ è $Q$. Infine, $\omega_1$ e $\omega_2$ intersecano $(O)$ in $E, F$ (oltre a $B, A$). Mostrare che $PQ, CE, DF$ concorrono (o sono parallele).

[Linda_]

Testo nascosto:

Allora... chiamiamo $Z=CE\cap FD$, $X$ l'intersezione diversa da $E$ di $CE$ con $\omega_1$, $Y$ l'intersezione diversa da $F$ di $DF$ con $\omega_2$.
Se mostriamo che $EFYX$ è ciclico è fatta: considerando $(EFXY)$, $\omega_1$ e $\omega_2$ gli assi radicali di queste circonferenze a 2 a 2 devono per forza concorrere (o essere paralleli), e gli assi radicali sono proprio le rette $PQ$, $DF$ e $CE$.
Mostreremo in particolare che $ZE\cdot ZX=ZF\cdot ZY$.
$\widehat{PYF}=\widehat{PAF}$ perché $APFY$ è ciclico; essendo $ACFD$ ciclico abbiamo che $\widehat{PAF}$ è il supplementare di $\widehat{CDF}$ che a sua volta è il supplementare di $\widehat{CDZ}$ per l'allineamento di $F,D,Z$. Dunque $\widehat{PAF}=\widehat{CDZ}$ e allora $\widehat{PYF}=\widehat{CDZ}$.
Dunque i triangoli $\triangle XYZ$ e $\triangle CDZ$ sono simili (hanno $\widehat{CZD}$ in comune e $\widehat{CDZ}=\widehat{XYZ}$), da cui $\frac{ZY}{DZ}=\frac{ZX}{ZC}$.
E dato che per questioni di potenza considerando $(O)$ vale $ZC\cdot ZE=ZD\cdot ZF$ se consideriamo anche l'uguaglianza dei rapporti sopra troviamo che $ZE\cdot ZX=ZF\cdot ZY$, come cercato. Da questo segue la ciclicità di $EFYX$, da cui la tesi.

[Veritasium]

Buona! (Ci sarebbero altri casi (analoghi) di configurazione, cioé alcuni angoli invece che supplementare del supplementare possono venire direttamente tutti e tre congruenti, ma dipende solo da dove [tex]\omega_{1,2}[/tex] intersecano [tex](O)[/tex], e comunque il problema non si pone usando gli angoli orientati)

Un altra strada è

Testo nascosto:

Definisco [tex]W = AF \cap BE[/tex] e allora per Pappo Pascal [tex]P, W, Z[/tex] sono allineati, ma per questione di assi radicali lo sono anche [tex]P, Q, W[/tex], da cui la tesi

Per il livello, io l'ho trovato abbastanza facile, ma ho messo così vista la fonte (un TST cinese di qualche anno fa)