$\triangle ABC$ è inscritto in $\omega$. Le tangenti a $\omega$ in $B, C$ si incontrano in $T$. La perpendicolare ad $AT$ per $A$ incontra la retta $BC$ in $S$. Siano $B_1, C_1$ punti su $ST$ (con $C_1$ tra $S$ e $B_1$) tali che $B_1T = BT = C_1T$.
Mostrare $\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$.
'Murica TST
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Giovanni98
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- Iscritto il: 27/11/2014, 14:30
Re: 'Murica TST
Sia $M$ il punto medio di $BC$. Vale , poichè $BT=TC$ , $TM \perp BC$ e quindi $\angle SMT = \angle SAT = 90$ e quindi $SAMT$ ciclico e quindi ancora $\angle AMS = \angle ATS$.
A fronte di ciò che abbiamo dimostrato è sufficiente dimostrare che $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AT}{TC'} \iff \sin (\alpha) \cdot AT = AM$.
Notiamo che $\dfrac{AT}{\sin \gamma} = \dfrac{TB}{\sin (\angle BAT)} = \dfrac{BC}{2 \sin \alpha \sin (\angle BAT)}$ e che $\dfrac{AM}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{2 \sin (\angle MAC)}$ per il teorema dei Seni applicato ai triangoli $ABT$ e $AMC$ rispettivamente. E' noto che $AM$ e $AT$ sono rette isogonali, da cui $\angle BAT = \angle MAC$ e quindi $\dfrac{AT}{AM} = \dfrac{1}{\sin \alpha}$.
A fronte di ciò che abbiamo dimostrato è sufficiente dimostrare che $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AT}{TC'} \iff \sin (\alpha) \cdot AT = AM$.
Notiamo che $\dfrac{AT}{\sin \gamma} = \dfrac{TB}{\sin (\angle BAT)} = \dfrac{BC}{2 \sin \alpha \sin (\angle BAT)}$ e che $\dfrac{AM}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{2 \sin (\angle MAC)}$ per il teorema dei Seni applicato ai triangoli $ABT$ e $AMC$ rispettivamente. E' noto che $AM$ e $AT$ sono rette isogonali, da cui $\angle BAT = \angle MAC$ e quindi $\dfrac{AT}{AM} = \dfrac{1}{\sin \alpha}$.