INDAM 2015-16 problema 3

[karl53]

Allenandomi per l'indam ho trovato questo problema del quale sono riuscito a risolvere solo il punto a)
Dato un poligono regolare $P$ avente $101$ lati, indichiamo, in senso orario, i suoi vertici con $V_0,V_1,V_2,...,V_{99},V_{100}$. Si tracciano le $101$ diagonali $V_0V_{31},V_1V_{32},V_2V_{33}$, e cosi via, sempre procedendo di $31$ passi, fino a $V_{100}V_{30}$
(a) Partendo da $V_0$ e procedendo da vertice a vertice in senso orario lungo le diagonali tracciate, quante diagonali si saranno percorse quando si tornera in $V_0$ per la prima volta?
(b) Esistono punti interni a $P$ per cui passano tre delle diagonali tracciate?
(c) Quanti sono in tutto i punti di intersezione interni a $P$ tra le varie diagonali tracciate?
(d) Indicando, per $n>3$, con $R_n$ il numero di regioni aventi $n$ lati che si sono ottenute in $P$ dopo aver tracciato le varie diagonali, stabilire tutti i valori $R_3,R_4,R_5,R_6,$ etc. (senza dimostrazione)

[Vinciii]

Ci provo:

Testo nascosto:

(a) Dopo aver percorso una diagonale si sono percorsi $31$ lati del poligono, dato che $31$ e $101$ sono coprimi, il primo multiplo di $31$ che è anche multiplo di $101$ è $101*31$, quindi torno sul vertice iniziale dopo $101$ passi.

In questi giorni provo a fare anche gli altri.