[L04] C'è almeno un modo facile di farlo

[Gerald Lambeau]

Siccome ho trovato proprio quel modo facile e non ho tentato altre vie, il livello potrebbe non essere ben calibrato.
Sia $ABC$ un triangolo e siano $A_1, B_1$ e $C_1$ i piedi delle sue bisettrici.
Dimostrare che $AA_1B_1C_1$ è un quadrilatero ciclico se e solo se vale la relazione $\displaystyle \frac{BC}{AB+AC}=\frac{AB}{AC+BC}+\frac{AC}{AB+BC}$.

[Linda_]

Testo nascosto:

Baricentriche!
Prendendo come triangolo di riferimento $\triangle ABC$ abbiamo $A=[1:0:0]$, $B=[0:1:0]$, $C=[0:0:1]$; i piedi delle bisettrici hanno coordinate $A_1=[0c]$, $B_1=[a:0:c]$, $C_1=[a0]$.
Ricordando che in baricentriche la circonferenza ha equazione $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(px+qy+rz)(x+y+z)=0$ per opportuni $p,q,r\in\mathbb{R}$, troviamo ora l'equazione di $\Gamma$, la circoscritta a $\triangle AB_1C_1$.
Dato che $A\in\Gamma$, sostituendo le sue coordinate all'equazione generale della circonferenza abbiamo che $p=0$.
Tenendo conto che $p=0$, dato che $B_1\in\Gamma$, sostituendo le sue coordinate otteniamo che $$ab^2c-cr(a+c)=0 \Rightarrow r=\dfrac{ab^2}{a+c}$$
Allo stesso modo, dato che $C_1\in\Gamma$ e $p=0$, $$abc^2-bq(a+b)=0 \Rightarrow q=\dfrac{ac^2}{a+b}$$
Dunque la circoscritta a $\triangle AB_1C_1$ ha equazione $$a^2yz+b^2xz+c^2xy-a\left(\frac{c^2}{a+b}y+\frac{b^2}{a+c}z\right)(x+y+z)=0$$
Ora $A_1$ appartiene a $\Gamma$ se e solo se sostituendo le sue coordinate all'equazione della circonferenza l'uguaglianza è soddisfatta, per cui $$A_1\in\Gamma \Leftrightarrow a^2bc-abc\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)(b+c)=0$$ e dividendo entrambi i membri per $abc(b+c)$ che è sicuramente $\neq 0$ $$A_1\in\Gamma \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}=\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}$$
che è la tesi.

[Gerald Lambeau]

Mi è bastata la prima riga per capire che fosse giusta! Ad ogni modo, non ci dovrebbero essere nemmeno typo né conti sbagliati, dunque è corretta .

[Salvador]

Mi potete spiegare meglio come funzionano le coordinate baricentriche e come si trovano le equazioni di rette, punti, circonferenza etc?
(Così capisco anche la soluzione a questo problema)

[Giovanni98]

Mi potete spiegare meglio come funzionano le coordinate baricentriche e come si trovano le equazioni di rette, punti, circonferenza etc?
(Così capisco anche la soluzione a questo problema)

Guardati i video dei vari senior (medium).
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... r=Training