[L03] Altre condizioni sulle lunghezze dei segmenti

[Gerald Lambeau]

Ultimamente, allenandomi per il Winter, mi sta riuscendo solo geometria, e chi mi conosce sa che questo è assai strano... anyway, ecco a voi il problema:
in un triangolo $ABC$, sia $M$ il punto medio di $AC$, e $D$ un punto su $BC$ tale che $DB=DM$. Sappiamo che $2BC^2 = AC(AC + AB)$.
Dimostrare che i triangoli $ABC$ e $DMC$ sono simili.

[Gerald Lambeau]

Up!

[Vinciii]

Partendo da $2BC^2=AC(AC+AB)$, dividiamo per $AC$ ed otteniamo $\dfrac{BC}{AC}*2BC=AC+AB$. Dato che $AC=2CM$ ottengo $\dfrac{BC}{CM}*BC=AC+AB$, da cui $\dfrac{BC}{CM}=\dfrac{AC+AB}{BC}$, e dato che $BC=CD+DB$ e che $BD=DM$ ho che $\dfrac{BC}{CM}=\dfrac{AC+AB}{CD+DM}$.
Arrivato qui mi blocco, non se il fatto che hanno un lato e la somma degli altri due in proporzione serva effettivamente a qualcosa, o se unito al fatto che hanno l'angolo in $C$ in comune basti a concludere la dimostrazione. Qualche hint?

[Gerald Lambeau]

È passato un po' di tempo, ma se non ricordo male io l'ho risolto usando qualche relazione trigonometrica.
La strada che hai preso tu sembra promettente, però non ho idea di come potresti continuarla (anche se sembra avere qualche valore da un punto di vista trigonometrico). Appena ho tempo di pensarci provo a vedere se c'è qualche modo di concludere la tua soluzione.

[Vinciii]

Grazie mille, anche io provo a farlo con la trigonometria.

[Salvador]

Mi pare di averlo risolto qualche tempo fa...
Domani mi ci rimetto e vedo se riesco a ricordarmi come avevo fatto

[Salvador]

Testo nascosto:

Poiché $AC=2MC$ dividendo per 2 l'uguaglianza data si ha $BC^2=MC(AB+AC)$ e dunque è possibile scrivere la proporzione $\dfrac{AB+AC}{BC}=\dfrac{BC}{MC}$. Prolungando AC dalla parte di A di un segmento AB' congruente ad AB si ha un nuovo triangolo BB'C con $B'C=AB+AC$, dunque i triangoli BB'C e BCM hanno un angolo in comune (l'angolo in C) e le due coppie di lati di questo tra loro proporzionali, dunque sono simili. Ponendo BB'C=a e B'BC=b si ha BB'C=CBM=a e B'BC=BMC=b. Inoltre, poiché ABB' è isoscele si ha BB'A=B'BA=a e poiché anche BDM è isoscele si ha CBM=BMD=a. Dunque gli angoli ABC=B'BC-B'BA=b-a e CMD=BMC-BMD=b-a sono congruenti e perciò i triangoli ABC e CDM, avendo due coppie di angoli corrispondenti congruenti (l'angolo in C e i due angoli sovracitati), sono simili.

[Salvador]

Ma c'è un modo per mettere il "cappello" (^) quando si scrive un angolo?

[Gerald Lambeau]

Più tardi controllo se la tua soluzione è giusta, comunque io uso

Codice: Seleziona tutto

\widehat{ABC}

che produce $\widehat{ABC}$, molti invece usano

Codice: Seleziona tutto

\angle{ABC}

che produce $\angle{ABC}$.

[Gerald Lambeau]

È giusta!