Problema con un trapezio.

[Giovanni98]

Sia $ABCD$ un trapezio ove $AB$ è parallelo a $CD$. Sia $P$ il punto di incontro delle diagonali del trapezio e sia $Q$ un punto esterno al trapezio separato da $P$ dalla retta $BC$ tale che $\angle AQB = \angle CQD$. Dimostrare che $\angle AQP = \angle DCQ$.

[Vinciii]

Sicuro che l'ultimo angolo non sia CDQ invece di DCQ?

[Giovanni98]

Nope, é quello del testo.

[Ale99]

Però a me torna come dice Vinciii ed anche a geogebra

Testo nascosto:

Dimostriamo come prima cosa che la parallela a $CD$ per $Q$ è simmetrica rispetto alla bisettrice di $\angle CQB $ di $QP$

Testo nascosto:

In baricentriche perché sono scarso in sintetica ultimamente (ma perché prima ero forte?)

Testo nascosto:

$Q=(1;0;0)$, $B=(0;1;0)$, $C=(0;0;1)$
Prendiamo a caso il nostro punto $D=(1;q;r)$ e tracciamo la nostra linea $DC$ che avrà equazione $y=qx$
Cerchiamo ora il punto all'infinito di quella retta, $D_0$, intersecando $y=qx$ e $x+y+z=0$ ovvero la retta all'infinito
Otteniamo $ D_0=(1;q;-q-1)$ e tracciando la linea $BD_0$ di equazione $z=-(q+1)x$ otteniamo la parallela a $CD$ per $B$ ovvero $BA$
Vogliamo ora trovare $QA$ ovvero la simmetrica di $ DQ$ rispetto alla bisettrice di $\angle CQB$ e questa retta è quella che passa per il coniugato isogonale di $D$ ovvero $D'=(a^2;\frac{b^2}{q};\frac{c^2}{r})$ e $A$; la retta $QA$ ha dunque equazione $z=\frac{qc^2}{rb^2} y $
Sarà dunque $A$ l'intersezione di queste due rette ovvero $A=(qc^2;-r(q+1)b^2;-(q+1)qc^2)$
La retta $AC$ avrà dunque equazione $y=\frac{-r(q+1)b^2}{qc^2} x$ e la retta $BD$ $z=rx$ dunque $P=(qc^2;-r(q+1)b^2;rqc^2)$
La retta $AD_0$ di equazione $ -(q+1)y=qz$ è la parallela a $CD$ per $A$ dunque non ci resta che dimostrare che il coniugato isogonale di $P$ sta su questa retta; ma $P'=(\frac{a}{qc^2};\frac{-1}{r(q+1)};\frac{1}{rq})$ che molto banalmente soddisfa l'equazione di $AD_0$
Dunque $PQ$ e $AD_0$ sono simmetriche rispetto alla bisettrice di $\angle CQB$ e dunque lo sono anche rispetto a quella di $DQA$ (sono la stessa)

Sia $r$ questa parallela; avremo quindi che $ \angle QDC = \angle DQR = \angle PQA $