Punti a caso

[Vinciii]

Dati $2n$ punti di un piano, dimostrare che esiste un cerchio che ne contiene esattamente $n$.

[Vinciii]

Dai, dai

[Dudin]

Mettendo una circonferenza e mettendo n punti dentro di essa ed n fuori al variare del raggio e della posizione dei punti e del centro possiamo ottenere tutte le infinite combinazioni

[Vinciii]

Non mi sembra molto rigorosa come dimostrazione

[Lasker]

UP! Dai questo è carino!

[[ProfMateMatto]]

Allora ve lo spiego io: dato raggio infinito ci sono infiniti e dico infiniti punti nel cerchio quindi anche quelli nostri

[Vinciii]

UP! Dai questo è carino!

Ho provato a farlo per un pò senza risultati, qualche hint???

[Lasker]

Stavolta non hinto se non mi fai vedere un po' di tuoi progressi sul problema (sono troppo vecchio per portare via questi esercizi ), come lo hai approcciato? C'è un modo assai naturale di partire che funziona (non somiglia a ciò che ha cercato di fare Dudin ma più ad una "costruzione" del cerchio desiderato).

[Vinciii]

Ci ho pensato un bel pò prima di metterlo sul forum, la cosa che stava funzionando di più (ma che non riuscii a far funzionare lo stesso) fu prendere un punto a caso del piano e tracciare le sue distanze da tutti i punti $d_1\le d_2\le \ldots \le d_{2n-1} \le d_{2n}$ e poi provare alcune costruzioni nel caso in cui $d_n=d_{n+1}$ tenendo anche presente che il punto sta sull'asse dei due punti da cui dista $d_n$, e poi provai a fare la stessa cosa partendo da uno dei $2n$ punti, ma non sono riuscito a trovare una costruzione utile.

[Dudin]

Ok modifica alla soluzione vecchia spoiler per non rovinarela.

Testo nascosto:

1)presi in qualunque modo 2n punti sul piano possiamo aggiungere un altro punto C (centro della nostra circonferenza) in modo tale che tutti i 2n punti abbiano distanza d diversa da esso.

2)quindi siano d(i) le distanze ordinate in ordine crescente dei 2n punti da C. Avremo che d(1)<2(2)<d(3)... <d(2n).
Semplicemente prendiamo come centro C e come raggio d(n). In questo modo avremo n punti dentro (che hanno distanza minore o uguale di d(n) * ed n punti fuori (che hanno distanza maggiore da d(n))

Dimostrazione:
(

Testo nascosto:

perché è sempre possibile prendere un punto C con distanze diverse da tutti i 2n?
Semplicemente ricordiamo che due punti P1, P2 hanno la stessa distanza da C se é solo se C giace sull'asse di P1-P2. Quindi per 2n punti avremo n(2n-1) rette su cui C non può stare. Ogni retta ha il suo coefficiente angolare... Ma le rette sono un insieme finito e i coefficienti angolari un insieme infinito. Quindi ci saranno sempre infinite rette con coefficienti angolari diversi su cui il punto C può stare