Uguaglianza fra cose
Uguaglianza fra cose
Dimostrare che $\dfrac {3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2$, dove $m_a $ è la mediana relativa ad $a$ e cicliche. Possibilmente non usate brutalmente e bovinamente la formula della lunghezza della mediana, che ridurrebbe il tutto a semplici passaggi algebrici
Re: Uguaglianza fra cose
Provo:
Testo nascosto:
Ultima modifica di Vinciii il 11/07/2017, 14:46, modificato 1 volta in totale.
Re: Uguaglianza fra cose
C'è solo un segno meno dimenticato, per il resto va bene
Re: Uguaglianza fra cose
però è sostanzialmente "usare la formula della mediana"
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Uguaglianza fra cose
C'è un minimo di lavoro in più, piuttosto che dire "sostituisco e fine"
Re: Uguaglianza fra cose
Prometto che mi impegnerò a trovare una soluzione diversa e più originaleLasker ha scritto:però è sostanzialmente "usare la formula della mediana"
Re: Uguaglianza fra cose
Sistema di vettori centrato in $O$.
Geometricamente è evidente che valgono $\vec{m_a}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A}}{2}$ e cicliche, osserviamo che magicamente $\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c}=\vec{0}$ e quindi
$$0=|\vec{0}|^2=|(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})|^2=(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})\cdot(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})=m_a^2+m_b^2+m_c^2+2(\vec{m_a}\cdot \vec{m_{b}}+\vec{m_b}\cdot \vec{m_{c}}+\vec{m_c}\cdot \vec{m_{a}})$$
Basta valutare i prodotti scalari al RHS, ricordando $\vec{A}\cdot\vec{A}=R^2$ e cicliche:
$$\sum_{cyc}2\vec{m_a}\cdot \vec{m_b}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})\cdot(\vec{C}+\vec{A}-2\vec{B})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(5\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot \vec{C}-\vec{C}\cdot \vec{A}-3R^2)=\frac{3}{2}(\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{C}+\vec{C}\cdot\vec{A}-3R^2)$$
Valutando ora infine $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e cicliche otteniamo
$$\vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cos(2\gamma)=R^2(2\cos^2(\gamma)-1)=R^2(1-2\sin^2(\gamma))=R^2\left(1-\frac{c^2}{4R^2}\right)=R^2-\frac{c^2}{2}$$
Notiamo con piacere che $R^2$ si semplifica e sostituendo nella prima equazione si ottiene la tesi
Geometricamente è evidente che valgono $\vec{m_a}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A}}{2}$ e cicliche, osserviamo che magicamente $\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c}=\vec{0}$ e quindi
$$0=|\vec{0}|^2=|(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})|^2=(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})\cdot(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})=m_a^2+m_b^2+m_c^2+2(\vec{m_a}\cdot \vec{m_{b}}+\vec{m_b}\cdot \vec{m_{c}}+\vec{m_c}\cdot \vec{m_{a}})$$
Basta valutare i prodotti scalari al RHS, ricordando $\vec{A}\cdot\vec{A}=R^2$ e cicliche:
$$\sum_{cyc}2\vec{m_a}\cdot \vec{m_b}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})\cdot(\vec{C}+\vec{A}-2\vec{B})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(5\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot \vec{C}-\vec{C}\cdot \vec{A}-3R^2)=\frac{3}{2}(\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{C}+\vec{C}\cdot\vec{A}-3R^2)$$
Valutando ora infine $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e cicliche otteniamo
$$\vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cos(2\gamma)=R^2(2\cos^2(\gamma)-1)=R^2(1-2\sin^2(\gamma))=R^2\left(1-\frac{c^2}{4R^2}\right)=R^2-\frac{c^2}{2}$$
Notiamo con piacere che $R^2$ si semplifica e sostituendo nella prima equazione si ottiene la tesi
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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Re: Uguaglianza fra cose
Scusate non ho capito una cosa: in
A2+b2+c2 (i due sono quadrati) devo usare l'undicesimo livello del triangolo di Tartaglia, ma viene una cosa lunghissima! Come faccio a trasformarlo in una cosa più breve?
A2+b2+c2 (i due sono quadrati) devo usare l'undicesimo livello del triangolo di Tartaglia, ma viene una cosa lunghissima! Come faccio a trasformarlo in una cosa più breve?