Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Dimostrare che $\dfrac {3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2$, dove $m_a $ è la mediana relativa ad $a$ e cicliche. Possibilmente non usate brutalmente e bovinamente la formula della lunghezza della mediana, che ridurrebbe il tutto a semplici passaggi algebrici

Provo:

C'è solo un segno meno dimenticato, per il resto va bene

Correggo subito xD

però è sostanzialmente "usare la formula della mediana"

C'è un minimo di lavoro in più, piuttosto che dire "sostituisco e fine"

Lasker ha scritto:però è sostanzialmente "usare la formula della mediana"

Prometto che mi impegnerò a trovare una soluzione diversa e più originale

Sistema di vettori centrato in $O$.
Geometricamente è evidente che valgono $\vec{m_a}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A}}{2}$ e cicliche, osserviamo che magicamente $\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c}=\vec{0}$ e quindi
$$0=|\vec{0}|^2=|(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})|^2=(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})\cdot(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})=m_a^2+m_b^2+m_c^2+2(\vec{m_a}\cdot \vec{m_{b}}+\vec{m_b}\cdot \vec{m_{c}}+\vec{m_c}\cdot \vec{m_{a}})$$
Basta valutare i prodotti scalari al RHS, ricordando $\vec{A}\cdot\vec{A}=R^2$ e cicliche:
$$\sum_{cyc}2\vec{m_a}\cdot \vec{m_b}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})\cdot(\vec{C}+\vec{A}-2\vec{B})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(5\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot \vec{C}-\vec{C}\cdot \vec{A}-3R^2)=\frac{3}{2}(\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{C}+\vec{C}\cdot\vec{A}-3R^2)$$
Valutando ora infine $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e cicliche otteniamo
$$\vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cos(2\gamma)=R^2(2\cos^2(\gamma)-1)=R^2(1-2\sin^2(\gamma))=R^2\left(1-\frac{c^2}{4R^2}\right)=R^2-\frac{c^2}{2}$$
Notiamo con piacere che $R^2$ si semplifica e sostituendo nella prima equazione si ottiene la tesi

Bello!

Scusate non ho capito una cosa: in
A2+b2+c2 (i due sono quadrati) devo usare l'undicesimo livello del triangolo di Tartaglia, ma viene una cosa lunghissima! Come faccio a trasformarlo in una cosa più breve?