Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ciao a tutti,
recentemente mi sono imbattuto in questo problema della finale nazionale di quest'anno:
ABCD è un tetraedro con la seguente proprietà: detti A′, B′, C′, D′, rispettivamente, gli incentri delle facce BCD, ACD, ABD ed ABC, si ha che le rette AA′, BB′, CC′ e DD′ hanno un punto in comune. Dimostrare che il prodotto delle lunghezze di due spigoli opposti del tetraedro è costante, ossia che AB · CD = AC · BD = AD · BC.
Ho tentato qualche approccio, ma non so proprio come risolverlo. Qualcuno mi può aiutare a capire? Grazie in anticipo.

Ragiona con la geometria piana, triangolo per triangolo. Che teorema bello c'è con gli oggetti che hai a disposizione? Ti accorgerai probabilmente che se dimostri una cosa in geometria solida (ma facile) dei punti coincidono. Ma allora hai finito.


Altrimenti, baricentriche, ma attento perché essendo solida, non è affatto scontato come usarle.

Allora...
con il teorema della bisettrice dimostro che la tesi è valida se e solo se le i piedi delle bisettrici uscenti da A e D su BC coincidono (per esempio).
Adesso mi pare facile, no?

Yes