Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Sia ABC un triangolo e P un suo punto interno. Sia H il punto sul lato BC tale che la bisettrice dell'angolo AHP è perpendicolare alla retta BC. Sapendo che ABC=HPC e BPC=130°, determina la misura dell'angolo BAC.

Sketch (se vuoi spiego i passaggi):

- Sia $P'$ il simmetrico di $P$ rispetto a $BC$.
- $A, H, P'$ sono allineati
- Per costruzione, $\angle HP'C=\angle HPC= \angle ABC$
- Ma allora i punti $P'$ e $B$ vedono il segmento $AC$ sotto lo stesso angolo, quindi $ABP'C$ è un quadrilatero ciclico (inscrittibile in una circonferenza)
- Per costruzione, $\angle BP'C=\angle BPC = 130^{\circ}$, dunque essendo $ABP'C$ ciclico, $\angle BAC$ è il supplementare di $BP'C$, e misura quindi $180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$.

Nah tranquillo, ho capito. C'era un modo per farlo senza costruire nulla?

Venux ha scritto:Nah tranquillo, ho capito. C'era un modo per farlo senza costruire nulla?

Si certo!

Basta osservare che i triangoli $PHC$ e $BHA$ sono simili (hanno $\angle HPC=HBC$ per ipotesi e l'angolo $\angle PHC=\angle BHA$ congruente per somma di angoli congruenti), da cui $CH:PH=AH:BH$ e $\angle PCH =\angle BAH$ perché corrispondenti. Ma allora $AHC$ e $BHP$ sono simili perché hanno due lati in proporzione e l'angolo fra essi compreso per differenza di angoli congruenti. Quindi, $\angle CAH=\angle PBH$ perché corrispondenti. Ma allora, considerando il triangolo $BCP$, $\angle BAC= \angle CAH+\angle BAH=\angle PBH+\angle PCH = 180^{\circ}-\angle BPC=50^{\circ}$.