Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

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[L02] [tex]\tan\alpha \times \tan\beta[/tex]

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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Inviato: 12/08/2019, 11:28
da AlexTheBoss
Testo nascosto:
Adesso prova a scrivere il rapporto delle aree in funzione di quei lati, usando anche ovviamente gli angoli

Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Inviato: 12/08/2019, 13:49
da afullo
0004POWER ha scritto:Sicuramente non è un problema da Gara di Archimede, ma neanche da Cesenatico (al limite potrebbe essere un Cesenatico 1 facile). Quindi anch'io direi come livello un L02/L03 però più tendente al L02
Vada per L02, anche se non riesco ad inserire il tag nel titolo, non vorrei che il tex nello stesso faccia sforare il massimo di caratteri... :mrgreen:

Re: [tex]\tan\alpha\times\tan\beta[/tex]

Inviato: 12/08/2019, 22:12
da ronny
AlexTheBoss ha scritto:
Testo nascosto:
Adesso prova a scrivere il rapporto delle aree in funzione di quei lati, usando anche ovviamente gli angoli
Dopo tanti conti mi sembra di esserci arrivato. Forse ne ho fatti troppi:
Testo nascosto:
Chiamo D il piede dell'altezza relativa a C sul lato AB e chiamo E il piede dell'altezza relativa ad A

l'angolo ACE in C vale [tex]\alpha+\beta[/tex]

[tex]Area(ABC) = \displaystyle \frac{BC AE}{2} = \frac{BC AC \sin{\alpha+\beta}}{2}[/tex]

[tex]DC = KC con{\beta}[/tex]
[tex]DC = HC cos{\alpha}[/tex]

[tex]KC = HC \displaystyle \frac{cos{\alpha}}{cos{\beta}}[/tex]

[tex]KH = \displaystyle KD + HD = \displaystyle KC sen\beta + HC sen\alpha[/tex]

[tex]KH = \displaystyle \frac{HC}{cos\beta}(cos\alpha sen \beta + sen\alpha cos\beta) = \frac{HC sen({\alpha + \beta})}{cos \beta}[/tex]

[tex]Area(KHC) = \displaystyle \frac{KH DC}{2} = \frac{HC sen({\alpha + \beta})}{cos \beta} \frac{HC cos \alpha}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{Area(ABC)}{Area(KHC)} = ...semplificando... = \frac{AC BC}{HC HC \frac{cos \alpha}{cos \beta}} = \frac{AC BC}{HC KC}[/tex]

ma visto che:
[tex]tg \alpha = \frac{HC}{AC}[/tex]
[tex]tg \beta= \frac{KC}{BC}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{Area(ABC)}{Area(KHC)} = \frac{AC BC}{HC KC} = \frac{1}{tg \alpha tg \beta}[/tex]
Forse c'era una strada più corta?

Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Inviato: 13/08/2019, 8:38
da AlexTheBoss
Testo nascosto:
Non sarebbe [tex]KC=HC \frac {\cos \beta} {\cos \alpha}[/tex] quando fai l'uguaglianza su [tex]DC[/tex]? Comunque sembra giusta anche se non ho verificato la parte di conti per adesso. Io comunque l'ho fatto in un altro modo:

Si ha [tex]\angle BCH= \angle KCA = \omega[/tex] da una banale differenza di angoli congruenti, e dunque utilizzando la formula dell'area [tex]\displaystyle \frac {A(HKC)} {A(ABC)}= \frac {0,5CK \times CH \sin (90- \omega)} {0,5BC \times AC \sin (90+ \omega)}[/tex]. Ora si noti che [tex]\sin (90- \omega)= \sin (90+ \omega)[/tex] e quindi hai che il rapporto fra le aree è [tex]\frac {CK \times CH} {BC \times AC}= \tan \alpha \times \tan \beta .[/tex]

Re: [tex]\tan\alpha\times\tan\beta[/tex]

Inviato: 13/08/2019, 10:09
da ronny
Sì, grazie, avevo invertito [tex]\alpha[/tex] con [tex]\beta[/tex] in due uguaglianze, ma le successive usavano gli angoli giusti.
Testo nascosto:
Mi era sfuggito di provare la formula dell'area in quel modo
Bel problema. Mi hai fatto allenare un po' con la trigonometria ;)

Re: [L02] [tex]\tan\alpha \times \tan\beta[/tex]

Inviato: 13/08/2019, 23:42
da afullo
Io intanto ho tolto un po' di (tex) e (/tex) dal titolo (li scrivo qui con le tonde e non con le quadre altrimenti me li interpreta), così si sono liberati i caratteri che servivano per l'inserimento del tag nello stesso... ;)
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