Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Salve ragazzi sono alle prese con un esercizio particolare. Dato un punto P(0,0,-1) ed il piano π: 2x-y+z-1=0.
Determinare:
a) La retta per P // a π;
b) La retta per P ⊥ a π;
c) La distanza di P da π.
Ho pensato di risolvere a) in questo modo: ho scritto una generica retta r in forma parametrica del tipo [x=x0+t*v1; y=y0+t*v2; z=z0+t*v3] dove ho assegnato a (x0,y0,z0)=(0,0,-1) e a t i parametri direttori del piano π:(2,-1,1) ottenendo il sistema [x=2t; y=-t; z=-1+t]. Per far si che la retta r sia parallela al piano π essa deve essere ortogonale, quindi la condizione di ortogonalità è verificata tramite l'annullamento del prodotto scalare: [(2,-1,1)*(2,-1,1)]=4+1+1=6; 6≠0 dunque la retta r non è parallela al piano.
b) non riesco a capire come si faccia.
c) ho ottenuto 2/sqrt(6)
Vi chiedo un aiuto nella a) e nella b) passo per passo
Grazie

a) Non capisco, cosa intendi quando affermi che "per far sì che la retta r sia parallela al piano π essa deve essere ortogonale"? Se è parallela o è contenuta nel piano o non ha punti di intersezione con esso, mentre dall'ortogonalità conseguirebbe la presenza di un punto di intersezione unico, quindi le due proprietà non sono compatibili;

b) Guarda l'esercizio 2 del paragrafo 2.5 qui, è analogo con dei numeri diversi;

c) Sì è giusto, ho appena controllato con Wolfram Alpha.

Allora credo di aver sbagliato non riesco a fare sia il punto a) che il punto b), saresti così gentile da darmi una mano. Grazie

Ora che rileggo meglio il punto a), c'è qualcosa che non va: di rette che passano per un punto dato e sono parallele ad un piano dato ce ne sono infinite, non una. Pensa, mantenendo come P il punto di coordinate (0,0,-1), se il piano ha equazione z=0: una qualunque retta che mantiene costante la quota z=-1 e passa per P è parallela al piano z=0. Sicuro che la consegna di quel punto fosse esattamente quella?

Per il punto b) ti ho già risposto, ripeti quei passaggi con diverse coordinate del punto ed equazione del piano.

Si il quesito 4) chiedeva proprio quello.

Mi sa che c'è un errore nel testo. Le rette parallele a π e passanti per P possono anche essere caratterizzate come quelle ortogonali alla retta trovata nel punto b) e passanti sempre per P, ma trovano ad essersi appunto in numero infinito.

@afullo potresti spiegarti meglio non ho capito cosa intendi, potresti spiegarti meglio Grazie.

Considera la tua scrivania come parte di un piano, e alcune penne come parte di diverse rette. Se posizioni una penna perpendicolarmente alla scrivania, di modo che contenga un determinato punto P, ottieni una retta ortogonale al piano e passante per il punto P; questa è unica. Se posizioni poi una seconda penna perpendicolarmente alla prima, facendo sì che le due si intersechino nel punto P, ottieni una retta parallela al piano e passante per il punto P; ma il fatto è che questo posizionamento lo puoi effettuare in infiniti modi, perché se ruoti questa seconda penna in orizzontale intorno al punto P, continui ad ottenere sia l'ortogonalità alla prima che il passaggio per P.

Ok @afullo perfetto sei stato molto chiaro con un semplicissimo esempio, Grazie ancora per l'aiuto e per il fastidio che ti do.