Diagonali ortogonali

[lucaboss98]

Un quadrilatero convesso di lati, [tex]a,b,c,d[/tex] con [tex]a,c[/tex] opposti, si ha che [tex]a^2 + c^2 = b^2 + d^2[/tex]. Dimostrare che le diagonali sono ortogonali.

[Lasker]

Chiamo $P$ il punto di incontro delle diagonali; esso le dividerà nei quattro "segmentini" $x$, $y$, $z$, $w$ (in senso antiorario), con un angolo $\alpha$ tra $x$ e $y$. Per il teorema di Carnot, vale:
$a^2=x^2+y^2-2xy\cos(\alpha)$, $b^2=y^2+z^2-2yz\cos\left(\pi-\alpha\right)$, $c^2=z^2+w^2-2zw\cos\left(\alpha\right)$ e $d^2=w^2+x^2-2wx\cos\left(\pi-\alpha\right)$. Dalla relazione del problema, sostituendo queste identità, otteniamo:
$$[x^2+y^2-2xy\cos(\alpha)]+[z^2+w^2-2zw\cos(\alpha)]=[y^2+z^2-2yz\cos\left(\pi-\alpha\right)]+[w^2+x^2-2wx\cos\left(\pi-\alpha\right)]$$
Semplificando i termini simili e trasformando $\cos(\pi-\alpha)$ in $-\cos(\alpha)$, si arriva a:
$$xy\cos(\alpha)+zw\cos(\alpha)+yz\cos\left(\alpha\right)+wx\cos\left(\alpha\right)=0\Rightarrow \cos(\alpha)(xy+yz+zw+wx)=0$$
Visto che la somma dei prodotti dei segmenti non è mai zero, deve esserlo $\cos(\alpha)$, da cui $\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$, e dunque la tesi è dimostrata.

[lucaboss98]

Giusta, uguale alla mia

[Gizeta]

Dato un quadrilatero [tex](A,B,C,D)[/tex] nel piano le sue diagonali sono ortogonali sse [tex]\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=0[/tex], dacché [tex]\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=|AC|\cdot |DB| \cdot \cos{\alpha}[/tex], dove con [tex]\alpha[/tex] indico l'angolo compreso tra i due vettori.

Possiamo riscrivere la tesi come [tex]\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD} \iff (B-A)^2+(C-D)^2=(B-C)^2+(A-D)^2[/tex] [sottintendo le freccette di vettore]

[tex](B-A)^2-(B-C)^2=(A-D)^2-(C-D)^2[/tex]

[tex](C-A)(2B-(A+C))=(C-A)(2D-(A+C))[/tex]

Moltiplico entrambi i membri per [tex]\displaystyle \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle (C-A)\left ( B-\frac{A+C}{2}\right )=(C-A)\left (D-\frac{A+C}{2} \right )[/tex]

Sia [tex]\displaystyle K=\frac{A+C}{2}[/tex], ossia [tex]K[/tex] è il punto medio di [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{KB}=-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DK}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KB})=0 \rightarrow \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=0[/tex] [tex]\blacksquare[/tex]

Tutti i passaggi sono invertibili, dunque questo dimostra e una freccia e l'altra.