Miscellanea 61

[Gizeta]

Su una lavagna sono scritti 100 numeri: [tex]\displaystyle 1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{100}[/tex].
Si possono cancellare due numeri arbitrari [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e riscrivere un solo numero, pari a [tex]a+b+ab[/tex], al loro posto.
Dopo [tex]99[/tex] operazioni di questo tipo resta sulla lavagna un numero solo. Qual è?

Bello bello, fatevi avanti

[lucaboss98]

\begin{equation}
(a+1)(b+1)=(a+b+ab)+1
\end{equation}
quindi il prodotto di tutti i numeri aumentati di $1$ è costante.
Sia $n$ il numero finale, si ha
\begin{equation}
n+1= \prod\limits_{i=1}^{100} ( \dfrac{1}{i} + 1) = \prod\limits_{i=1}^{100} \dfrac{i+1}{i} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \dfrac{101}{100} = \dfrac{101}{1} = 101
\end{equation}
da cui
$n=100$

[Gizeta]

Yep.

Altrimenti si può notare che

[tex]a+b+ab=\sigma_1+\sigma_2[/tex]

[tex]a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ab+bc+abc=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3[/tex]

Dove con [tex]\sigma_i[/tex] indico le funzioni simmetriche elementari.

Il numero finale è pari a [tex]\displaystyle \sum_{i=1}^{99} {\sigma_i}[/tex], ossia [tex]\displaystyle x_{1,2,...,100}=1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{100}[/tex] sono le radici del polinomio di grado [tex]100[/tex]

[tex]\displaystyle P(x)=x^{100}-\sigma_1x^{99}+\sigma_2x^{98}+...-\sigma_{98}x+\sigma_{99}=(x-1)\left (x-\frac{1}{2}\right )\cdot... \cdot \left (x-\frac{1}{100} \right )[/tex]

Infine si calcola [tex]P(-1)-1[/tex] notando che quella produttoria telescopizza