9.Aerei e carburante[facile]

[gillg]

Un problemino semplice e famoso per continuare la staffetta
Un gruppo di aerei e dislocato su una piccola isola. Il serbatoio di ogni aereo contiene esattamente carburante sufficiente a consentirgli mezzo giro del mondo, ma è possibile trasferire istantaneamente quanto carburante si vuole da un aereo ad un altro mentre gli aerei sono in volo. La sola fonte di carburante è sull'isola e il rifornimento è immediato.
Qual'è il numero minimo di aerei necessario per assicurare il volo di uno di essi per un giro completo attorno al mondo, ammettendo che gli aerei abbiano la stessa velocità costante rispetto al suolo, lo stesso consumo di carburante e che tutti gli aerei rientrino sani e salvi alla base?

[Ale99]

Forse 2 ? Appena si alzano in volo il primo aereo da tutto il suo carburante al secondo e plana immediatamente sull'isola .

[xXStephXx]

Non può perchè l'altro deve avere spazio a sufficienza per contenerlo.

[gillg]

no, non è così, cmq lo aggiungo ora(pensavo fosse sottinteso).
quando gli aerei partono hanno i serbatoi pieni e da un aereo all'altro si può passare quanto carburante si vuole (ammesso che entri nel serbatoio)

[mr96]

E boh, allora saranno 4

[Gerald Lambeau]

Per ora sono arrivato a capire che la massima distanza che possono percorrere prima di fare rifornimento è [tex]\displaystyle \frac{1}{5}[/tex] di giro del mondo:
per [tex]\displaystyle \frac{1}{2}[/tex], come avete già capito, tutti gli aerei arrivano a fare metà giro e rimangono senza carburante;
per [tex]\displaystyle \frac{1}{3}[/tex], arrivati a quel punto gli aerei avranno una quantità di carburante che serve a fare [tex]\displaystyle \frac{1}{6}[/tex] di giro, che è ovviamente inferiore a [tex]\displaystyle \frac{1}{3}[/tex] che devono ripercorrere indietro alcuni aerei, perciò non possono farcela;
per [tex]\displaystyle \frac{1}{4}[/tex] di carburante ne resta proprio per percorrere il quarto di giro a ritroso, perciò non a senso.
Invece, a partire da [tex]\displaystyle \frac{1}{5}[/tex] e per tutte le frazioni più piccole, la quantità di carburante che rimane agli aerei è sicuramente sufficiente per tornare indietro.
La domanda è: per quale di queste frazioni il numero di aerei necessari è minimo?
(ovviamente parlo di frazioni intere, altrimenti qualsiasi frazione minore di [tex]\displaystyle \frac{1}{4}[/tex] va bene)

[Toadino2]

Ma gli aerei possono fermarsi?
Perché altrimenti penso non si possa fare, perché allora un aereo dovrebbe per forza arrivare a compimento del suo mezzo giro dovendo prendere del carburante (dopo tre ottavi di giro non si può più trasferire, altrimenti un aereo che lo fa non potrebbe né avanzare né tornare alla base), altrimenti non completa il giro.

[Gerald Lambeau]

No Taodino, è possibile:
se come dicevo prima percorrono [tex]\displaystyle \frac{1}{5}[/tex], il carburante di ogni aereo può fare [tex]\displaystyle \frac{3}{10}[/tex], tolto il quinto per tornare indietro ogni aereo può donare [tex]\displaystyle \frac{1}{10}[/tex] da percorrere.
Se consideri un numero eccessivamente grande di aerei può tornare sicuramente.

[cip999]

Non posto la soluzione perché conoscevo già questo problema (ce ne avevano dato uno molto simile allo stage di Volterra per le IOI ).
Comunque, se permettete do un piccolo hint, che è più che altro una delucidazione sul testo visto che vedo un po' di fraintendimenti...

Testo nascosto:

Un aereo non ha bisogno di carburante per rientrare alla base (possiamo assumere che lo faccia istantaneamente, che i piloti si paracadutino o qualsiasi altra cosa ). L'importante è che ne sopravviva uno soltanto. Quindi...

[Gerald Lambeau]

No, a quanto c'è scritto gli aerei devono rientrare sani e salvi alla base.