15. Alberto e Barbara che giocano [facile]

[DamianoY]

Era il problema di una gara nazionale di parecchi anni fa (oggi come difficoltà potrebbe equivalere a un dimostrativo provinciale... Ad esagerare!):

Alberto e Barbara fanno il seguente gioco. Su di un tavolo ci sono $1999$ cerini (Commento: chissà di che anno è il problema ): a turno ogni giocatore deve togliere dal tavolo un numero di cerini a sua scelta, purché maggiore o uguale ad uno, e minore o uguale alla metà del numero di cerini che in quel momento sono sul tavolo. Il giocatore che lascia sul tavolo un solo cerino perde. Barbara è la prima a giocare. Determinare per quale dei due giocatori esiste una strategia vincente e descrivere tale strategia.

Siccome è facile, pretendo una dimostrazione più precisa possibile

[matematto]

Ecco la mia soluzione!

Testo nascosto:

Consideriamo che chi deve effettuare la mossa con [tex]2[/tex] cerini sul tavolo perde di sicuro, poichè ne dovrà togliere [tex]1[/tex] e perderà. Se si deve effettuare la mossa con [tex]3,4[/tex] cerini si potrà vincere facendone rimanere [tex]2[/tex]. Invece chi dovrà muovere con [tex]5[/tex] cerini perderà, poichè farà rimanere il suo avversario con [tex]3[/tex] o [tex]4[/tex] cerini. Da ciò si può ricavare che chi dovrà effettuare una mossa con [tex]\begin{cases} x_n=2x_{n-1}+1 \\ x_1=2 \\ x_2=5 \\ x_3=11 \\ x_4=23 \\ x_5=47 \\ x_6=95 \\ x_7=191 \\ x_8=383 \\ x_9=767 \\ x_{10}=1535 \\ x_{11}=3071 \end{cases}[/tex]
perderà di sicuro, perchè dovrà passare obbligatoriamente a un numero [tex]x[/tex] t.c.[tex]x_{n-1}<x<x_n[/tex], e il giocatore seguente potrà portare il numero dei cerini ad uno degli [tex]x_n[/tex] e così via fino al [tex]2[/tex], facendo vincere chi inizia con un numero [tex]x \ne x_n[/tex] mentre perderà chi inizierà con un numero [tex]x=x_n[/tex] . Qundi Barbara seguendo questa strategia vince, dato che [tex]1999 \ne x_n[/tex]

[DamianoY]

Ed è ovviamente giusta!
Puoi andare con il prossimo!

[matematto]

ok!
P.S. magari quest'anno ci fosse un febbraio così.... ahahahahahahahhahah

[DamianoY]

Cose del genere oggigiorno non le troviamo nemmeno ai giochi di Archimede D: