18. Gare e Giudici

[aetwaf]

A una competizione partecipano $20$ persone
I giudici sono $9$
Alla fine della gara ogni giudice redige la sua classifica attribuendo il numero $1$ al migliore e così via fino a $20$ al peggiore
Alla fine viene fatta la media dei valori attribuiti a un giocatore da ogni giudice per stabilire il suo valore finale
Chi ha il valore finale minore vince
Determinare il massimo valore finale che ha potuto ottenere il primo sapendo che, presi a caso $2$ giudici, il valore assoluto della differenza dei valori da essi assegnati a un qualsiasi partecipante è al più $3$

[Toadino2]

Forse ho una soluzione:

Dati i giocatori [tex]a,b,c[/tex] ecc. chiamiamo [tex]a_1,a_2,a_3[/tex] ecc. i punteggi ottenuti da un giocatore. Presupponiamo A primo e B secondo. Per la condizione tra i punteggi posta (che vale anche in senso inverso dato che ci riferiamo al valore assoluto) abbiamo che tutti i punteggi presi oscillano tra gli stessi 4 numeri contigui.
A per esser primo deve avere i punteggi più bassi (non dimentichiamo che vengono assegnati tutti i numeri). Deve per forza partire da 1 perché altrimenti potrebbe essere superato da un altro, avente fatto tutti 1 (di certo non il punteggio massimo).
Dunque A ha punteggi 1-4, e mettiamo B ne abbia più vicini possibili, dunque anch'esso 1-4. Poniamo il caso di maggiore vicinanza, cioè che abbiano i punteggi più vicini possibile (cosicché B sia proprio sull'orlo di esser primo): questo vuol dire che per quanto abbiamo detto prima entrambi hanno almeno un 1, ed allora per avvicinare i loro punteggi dovremo porre che abbiano soltanto 1 e 2. Il divario minore si ha con un solo punto e cioè quando le due serie sono 1,1,1,1,1,2,2,2,2 e 1,1,1,1,2,2,2,2,2: quella dalla somma più bassa apparterrà ad A, che dunque equivarrà a [tex]13[/tex]. Nel caso il punteggio si alzi anche di un solo punto A potrà essere superato da B, il che dimostra che questo è il massimo punteggio che il primo può ottenere.

[aetwaf]

Non sono vietati pareggi al primo posto

Inoltre tu non vuoi minimizzare il punteggio ma massimizzarlo quindi non devi assegnare solo $1 $ e $2 $
Possono avere punteggi da $1 $ a $4 $ secondo quanto hai detto

[Giovanni98]

Ma non si chiede la "media" più alta possibile con la quale un primo potrebbe aver vinto? O la somma dei voti? Quel 13 esce fuori sommando tutti i voti.

[Toadino2]

@Giovanni: è vero, mi sono confuso. Sarebbe dunque $1,4$.
Ok, allora ignorate la soluzione, la dovrò modificare

[Giovanni98]

Ci provo, bel problema comunque

Allora se un giocatore [tex]x[/tex] riceve un 1, al max allora può ricevere un 4. Allora facciamo così, poniamo i punteggi di tutti i ragazzi che hanno avuto 1 uguali. La combinazione di voti ottimale per questi è [tex]134134134[/tex], quindi ogni ragazzo ha un valore di [tex]24[/tex]. Adesso vediamo che la max combinazione di voti minore uguale di [tex]24[/tex] è proprio [tex]24[/tex] ottenibile con la seguente stringa di voti [tex]222222255[/tex]. Se cambiamo i voti ad uno qualsiasi dei ragazzi che hanno ricevuto almeno un [tex]1[/tex] otteniamo che almeno uno di essi riceverà un valore finale [tex]<24[/tex]

Ps : ovviamente se una somma dei voti è maggiore di un'altra, lo è anche la sua media.

Scusami per questa soluzione, è il max che sono riuscito a fare xD

[Giovanni98]

Alur ?

[Toadino2]

Eh, io alla fine non ci ho ripensato, pardon XD
Comunque adesso non posso... Se è riprovo più tardi

[aetwaf]

Scusa ora la guardo

[aetwaf]

Il risultato è giusto

Ma la soluzione può essere scritta molto meglio, dovresti spiegare bene ogni passaggio che fai perchè se no o chi la corregge potrebbe non capirla e darti poco o niente in termini di punti oppure te ne potrebbe comunque sottrarre per la forma
Specialmente nella fase nazionale

Nel tuo caso non spieghi perchè $134$ è la soluzione ottimale nè perchè il punteggio massimo minore o uguale a quello è $222222255$ e neanche a cosa ti serve e neanche l'affermazione finale