Osserviamo che $n$ per ipotesi dev'essere pari e che detta $q_n$ la quantità di caselle nere e $q_b$ quella di bianche, sono entrambi $q_n=q_b=k=n/2$. Dunque è possibile colorare la scacchiera in modo che le colonne siano a tinta unita: per ciò, $m=\frac{n}{2}$, cioè $q_n$ e $q_b$. Dunque $n=2m$ è soluzione.
È soluzione anche $n=m$, in quanto se la scacchiera alterna continuamente i colori, tutte le righe e colonne avranno $q_n=q_b$, che tautologicamente è accettabile.
Ora osserviamo che in altri casi non ci sono soluzioni.
Esaminiamo prima il caso $\frac{n}{2}<m<n$; in tal caso, scegliendo una qualsiasi colonna (abbiamo già appurato che per tutte le righe $_n=q_b$) abbiamo che essa ha $q_n$ caselle nere (o bianche); dato che $q_n=\frac{n}{2}$, dev'esserci almeno una casella bianca; ma allora le caselle bianche devono essere $q_b$, ed allora $m=q_n+q_b=2k$, ed essendo $k=n/2$, $2k=n$, quindi $m=n$, il che va contro ciò che stavamo presupponendo.
Per lo stesso motivo $m>n$ è un caso impossibile, perché se $q_n+q_b=n$, avendo già appurato che per tutte le righe e colonne $q_n=q_b$, $m$, non può essere maggiore di tale somma.
Dunque le coppie ($m=\frac{n}{2},n$) ed ($m=n,n$) sono soluzioni. $c.v.d.$
