In un torneo di pallacanestro ogni squadra gioca con tutte le altre 2 volte. La classifica alla fine del torneo vede una squadra prima con 26 punti e due in ultima posizione con 20 punti. Ricordando che ogni partita vinta da 2 punti e una persa 0, e che non vi possono essere pareggi, determinare il numero di squadre che hanno partecipato al torneo.
In pausa dagli esercizi per il Senior risolvo questo. Cesenatico 2001 n° 2, giusto?
SOLUZIONE:
Testo nascosto:
Si hanno $n(n-1)$ partite (le squadre $A$ e $B$ vengono contate appunto due volte, una per partita, una volta con la coppia $A-B$ e una con la coppia $B-A$).
I punti distribuiti sono in totale $2n(n-1)$.
Le $n-3$ squadre dalla seconda alla $n-2$-esima classificata hanno fatto almeno $22$ punti ciascuna (i punteggi sono sempre pari e questo è il minimo possibile maggiore di $20$, punteggio fatto solo dalle ultime due squadre).
Ne consegue che il totale dei punteggi deve essere maggiore o uguale di un determinato minimo, cioè
$2n(n-1) \ge (20+20+26)+22(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \ge 66+22(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \ge 3 \cdot 22+22(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \ge 22n \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2 \ge 24n \Rightarrow n \ge 12$
(abbiamo potuto dividere per $n$ senza problemi entrambi i membri della disuguaglianza perché $n$ deve essere per forza positivo).
Analogamente a prima, le $n-3$ squadre possono aver fatto al più $24$ punti ciascuna, quindi
$2n(n-1) \le (20+20+26)+24(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \le 66+24(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \le 18+2 \cdot 24+24(n-3) \Rightarrow \\
\Rightarrow 2n^2-2n \le 18+24(n-1) \Rightarrow \\
\Rightarrow n^2-n \le 9+12n-12 \Rightarrow \\
\Rightarrow n^2-13n+3 \le 0$
Risolvendola come un'equazione di secondo grado si hanno le due soluzioni in
$\displaystyle n_1=\frac{13+\sqrt{169-12}}{2}<\frac{13+\sqrt{169}}{2}=13$ e $\displaystyle n_2=\frac{13-\sqrt{169-12}}{2}>\frac{13-\sqrt{169}}{2}=0$. Dato che il coefficiente direttivo è positivo l'equazione è minore o uguale a $0$ all'interno delle due soluzioni, quindi $0 < n_2 \le n \le n_1 <13 \Rightarrow 0 < n <13$, ma noi sappiamo anche che $n \ge 12$ e quindi $12 \le n <13 \Rightarrow n=12$.
Dobbiamo trovare ora una situazione che soddisfi per $n=12$.
Ho che i punti in totale sono $2 \cdot 12 \cdot 11=264$ e quindi i punti dalla seconda alla decima classificata sono $264-66=198$.
Se facessero tutte e $9$ il minimo si avrebbe che i punti totali sarebbero pari a $9 \cdot 22=198$, che soddisfa.
Inoltre questa situazione è possibile: se la prima squadra vincesse sempre contro le ultime due e tutti gli altri scontri si concluderebbero una vittoria per squadra per ogni coppia di squadre (in altre parole per la partita $A-B$ vince $A$ e per quella $B-A$ vince $B$) si avrebbe che la prima squadra perde una volta contro ciascuna delle $9$ nel mezzo e vince una volta con ciascuna di loro e sempre (altre $4$ partite) contro le ultime $2$, per un totale di $13$ vittorie e $26$ punti, le ultime due squadre ne vincono una e ne perdono una per ognuna delle $9$ e fra di loro, quindi ne vincono $9+1=10$, contro la prima squadra perdono sempre e dunque in totale fanno $20$ punti e le squadre in mezzo vincono metà delle loro partite, cioè vincono una volta per ciascuna delle altre squadre che sono $11$ e in totale fanno $22$ punti.
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 26/06/2015, 0:00, modificato 3 volte in totale.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Poichè la somma delle vittorie di tutte le squadre è uguale alla somma delle sconfitte abbiamo che denotando con $V_i$ ed $P_i$ il numero di vittorie e di sconfitte della $i$-esima squadra (rispettando l'ordine di classifica) $V_1 > V_2 \ge V_3 \ge \cdots V_{n-2}>V_{n-1}=V_n$ e $P_1 < P_2 \le \cdots \le P_{n-2} < P_{n-1} = P_n$.
Ad ogni modo, poiché $V_1 = 13$ abbiamo che $P_1 < 13$ altrimenti avremmo $\sum V_i < 13n < \sum P_i$ dove $\sum P_i > 13n$ il che è assurdo. Analogamente $P_n > 10$. Adesso poiché $V_i + P_i = 2(n-1)$ abbiamo che $21 \le 2(n-1) \le 25$ ma poichè $CHS \equiv_2 0$ abbiamo che $2(n-1) = 22$ oppure $2(n-1) = 24$ che ci porta a concludere che $n=12$ oppure $n=13$. Tuttavia , se $n=13$ abbiamo che $\sum V_i \le 13+10+10+12(13-3) < \sum P_i = 11 + 14 + 14 + 12(13-3)$ e quindi assurdo. Ne consegue che l'unico $n$ valido è $n=12$ (trovando ovviamente una soluzione per $n=12$ come hai fatto tu) .
