Giochi americani

[Giovanni98]

Alberto e Barbara giocano al seguente gioco, inizialmente è scritto un numero su di una lavagna e a turno dovranno sostituire questo numero con il numeri dei suoi divisori oppure con la differenza fra il numero stesso e il numero dei suoi divisori. Sapendo che il numero inizialmente scritto sulla lavagna è $1036$ e che ad iniziare è Alberto, determinare chi ha una strategia vincente descrivendola.

[cip999]

Chi perde?

[Giovanni98]

Ho una capacità di dimenticare le cose mentre le scrivo incredibile. Vince chi scrive $0$

[Ale99]

Dimostriamo che Barbara ha una strategia vincente :
Se Alberto fa come prima mossa quella di sostituire [tex]1036[/tex] con il numero dei suoi divisori ( [tex]12[/tex] ) allora Barbara risponderà sostituendo a [tex]12[/tex] [tex]6[/tex] . Ora Alberto non potrà scrivere[tex]2[/tex] ( [tex]6[/tex] meno il numero dei suoi divisori ) perché altrimenti Barbara potrá scrivere [tex]0[/tex] ( [tex]2[/tex] meno il numero dei suoi divisori ) . Dunque Alberto scriverá [tex]4[/tex] , Barbara scriverà [tex]3[/tex] ( il numero dei divisori di [tex]4[/tex] ) ed Alberto scriverá o [tex]1[/tex] o [tex]2[/tex] che Barbara potrá sostituire con [tex]0[/tex] e dunque vincere ...
Se Alberto scrive [tex]1024[/tex] ( [tex]1036[/tex] meno il numero dei suoi divisori ) Barbara scriverà [tex]11[/tex] ( il numero dei divisori di [tex]1024[/tex] ) . Alberto non potrà scrivere [tex]2[/tex] perché altrimenti Barbara vincerebbe subito e dunque scriverá [tex]9[/tex] . Barbara scriverà [tex]3[/tex] ( il numero dei divisori di [tex]9[/tex] ) e Alberto scriverà [tex]1[/tex] o [tex]2[/tex] che Barbara potrá sostituire con [tex]0[/tex] e vincere ...
Esiste una dimostrazione decente o c'è solo questa schifezza che ho fatto io ?

[Giovanni98]

Anche io l'ho fatto così onestamente. Non credo qualcuno si sia messo a fare una soluzione per $n $ generale con una soluzione così chiamata onestamente xD