Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Una cassaforte viene protetta da un codice a [tex]4[/tex] cifre non tutte uguali. Perché tale combinazione non venga persa, Mal consegna a [tex]3[/tex] persone informazioni fondamentali per recuperarla. A Jayne consegna la somma della terza e della quarta cifra. A Book consegna il prodotto della seconda e della quarta cifra e la somma tra la prima e la terza cifra. A Zoe consegna la somma della prima e della seconda cifra. Passato un po' di tempo senza mai scambiarsi informazioni, i tre si incontrano e si dicono

Jayne: Io, Jayne, conosco la terza e la quarta cifra della combinazione.
Book: Io, Book, ora conosco tre cifre e la loro posizione precisa, ma non conosco l'intera combinazione.
Zoe: Io, Zoe, ora conosco la combinazione completa.

Qual è il codice?

Questo problema nella gara presso Parma non era stato risolto da nessuna squadra. Dopo lunghi ragionamenti sono arrivato alla conclusione che la combinazione sia [tex]9910[/tex], ma non ne sono sicuro al 100%. Qualcuno può provare a risolverlo scrivendo il suo ragionamento. Grazie.

La tua soluzione è sbagliata
Appena riesco ti scrivo qualche ragionamento tipo mindflow

Anche perché Jayne conosce esattamente (anche la posizione) qual é la terza e qual é la quarta cifra, dunque a priori non può finire con 01 o 10

Boh proviamo: se la somma conosciuta da Jayne fosse minore di 18 e maggiore di 0 ci sarebbero almeno due modi di scriverla e lei non potrebbe sapere le cifre esatte, quindi devono necessariamente essere 00 o 99.
Se Book avesse un prodotto maggiore o uguale a 9 saprebbe che l'ultima cifra è un 9 e di conseguenza anche la terza e quindi troverebbe tutto il numero, se invece avesse una somma maggiore di 9 saprebbe che la terza cifra è 9 e di conseguenza anche l'ultima e quindi conoscerebbe tutto il numero. Quindi ha un prodotto minore di 9 e una somma minore o uguale a 9. L'unico modo di avere un prodotto minore di 9 nei due casi possibili è che esso sia 0, quindi il numero potrebbe essere della forma x099, ma così saprebbe la x, allora deve essere necessariamente dell'altra forma possibile, yx00, dove y lo conosce, ma x no. Non sappiamo però come fa a essere certo di essere in questo caso: se la somma fra la prima e la terza cifra fosse 9 allora andrebbero bene sia 0099 che 9x00, ma se la somma fosse minore di 9 allora il caso x099 sarebbe escluso (anche per x=0), e siccome lui è certo di escluderlo (altrimenti non sarebbe certo della posizione esatta delle cifre) allora dev'essere per forza così, e allora il numero è della forma yx00 con y minore di 9 conosciuto da Book e x incognito anche a lui.
Dopo aver fatto questo ragionamento Zoe sa che $0 \le y<9$ e $o \le x \le 9$ e conosce anche $x+y$, per il quale vale $0 \le x+y <18$. Qualsiasi somma maggiore di 0 e minore di 17 può essere fatta in almeno due modi, e 0 non va bene perché sarebbero tutti zeri, quindi la somma è 17 e può essere fatta solo come 8+9 o 9+8, ma dato che y<9 allora dev'essere per forza y=8, x=9 e la combinazione è 8900.
La risposta è 8900, ma io l'ho spiegato in maniera incomprensibile...

@tass: ti dico solo che hai fatto lo stesso errore mio nel risolverlo, anche perchè credo che il testo sia ambiguo, infatti il problema intende le cifre in ordine decrescente, cioè la la quarta cifra è quella delle unità, la terza delle decine, la seconda delle centinaia, la prima delle migliaia.

EDIT: stavo scrivendo contemporaneamente a Gerald.

carlotheboss ha scritto:Anche perché Jayne conosce esattamente (anche la posizione) qual é la terza è qual é la quarta cifra, dunque a priori non può finire con 01 o 10

Ok grazie. Ho sbagliato proprio in questo punto.

Rho33 ha scritto:@tass: ti dico solo che hai fatto lo stesso errore mio nel risolverlo, anche perchè credo che il testo sia ambiguo, infatti il problema intende le cifre in ordine decrescente, cioè la la quarta cifra è quella delle unità, la terza delle decine, la seconda delle centinaia, la prima delle migliaia.

EDIT: stavo scrivendo contemporaneamente a Gerald.

Ahah, allora non sono l'uinco. Pensavo che Jayne conoscesse sole le cifre e non la loro posizione.

Gerald Lambeau ha scritto:Boh proviamo: se la somma conosciuta da Jayne fosse minore di 18 e maggiore di 0 ci sarebbero almeno due modi di scriverla e lei non potrebbe sapere le cifre esatte, quindi devono necessariamente essere 00 o 99.
Se Book avesse un prodotto maggiore o uguale a 9 saprebbe che l'ultima cifra è un 9 e di conseguenza anche la terza e quindi troverebbe tutto il numero, se invece avesse una somma maggiore di 9 saprebbe che la terza cifra è 9 e di conseguenza anche l'ultima e quindi conoscerebbe tutto il numero. Quindi ha un prodotto minore di 9 e una somma minore o uguale a 9. L'unico modo di avere un prodotto minore di 9 nei due casi possibili è che esso sia 0, quindi il numero potrebbe essere della forma x099, ma così saprebbe la x, allora deve essere necessariamente dell'altra forma possibile, yx00, dove y lo conosce, ma x no. Non sappiamo però come fa a essere certo di essere in questo caso: se la somma fra la prima e la terza cifra fosse 9 allora andrebbero bene sia 0099 che 9x00, ma se la somma fosse minore di 9 allora il caso x099 sarebbe escluso (anche per x=0), e siccome lui è certo di escluderlo (altrimenti non sarebbe certo della posizione esatta delle cifre) allora dev'essere per forza così, e allora il numero è della forma yx00 con y minore di 9 conosciuto da Book e x incognito anche a lui.
Dopo aver fatto questo ragionamento Zoe sa che $0 \le y<9$ e $o \le x \le 9$ e conosce anche $x+y$, per il quale vale $0 \le x+y <18$. Qualsiasi somma maggiore di 0 e minore di 17 può essere fatta in almeno due modi, e 0 non va bene perché sarebbero tutti zeri, quindi la somma è 17 e può essere fatta solo come 8+9 o 9+8, ma dato che y<9 allora dev'essere per forza y=8, x=9 e la combinazione è 8900.
La risposta è 8900, ma io l'ho spiegato in maniera incomprensibile...

Ok. Grazie mille. Ho compreso la soluzione... Alla fine il problema era molto facile, ma ho fatto un cattivo errore di interpretazione.

Prego .