vorrei proporre un esercizio che con le olimpiadi c'entra poco,ma che a mio parere allena le capacita di analisi di una situazione forse anche nella vita,e insegna a dare dimostrazioni razionali,l'esercizio è un classico gioco matematico con le carte,che segue vari passi,dunque....
c'è il classico "mago" e una folla intorno,il mago fa eseguire i passaggi seguenti...
1-si prende un mazzo di 40 carte e il mago lo fa mischiare ad uno dei presenti
2-Senza mai toccarle si invita uno dei presenti a girarne una alla volta fino a mostrarne 20.Il ‘mago’ deve memorizzarne una di queste 20 senza dire niente agli spettattori.
3-Si fa mettere da parte questo mezzo mazzo capovolto in modo che non si vedano più le figure.
4-Si dice,facendo finta di pensare a qualche strano calcolo, il nome della carta che si era memorizzata.
5-Si invitano i presenti a scegliere e mostrare tre carte prese a caso dall’altro mazzo rimasto in mano.
6-Si mettono le 17 carte rimaste sopra le prime venti che sono sul tavolo e si prende in mano il mazzo di 37 carte rivolte verso il basso.
7-Supponiamo che le tre carte scelte siano il 7 di spade, il 5 di coppe ed il 9 di bastoni.
Nel nostro esempio si mettono vicino alla prima altre 3 carte, vicino alla seconda se ne
mettono altre 5 e vicino alla terza se ne mette una soltanto, prelevandole sempre dalla
parte superiore del mazzo coperto. (Nel caso generale il numero delle carte da aggiungere
deve dare 10 se lo si somma al numero della carta corrispondente).
8-A questo punto viene il bello! Si calcola la somma dei numeri delle tre carte scelte, (che nel nostro caso è 7+5+9=21), e si dice che la ventunesima carta del mazzo rimasto è quella pronosticata (quando si faceva finta di pensare).
9-Si girano le carte, una alla volta, e si stupiscono gli amici mostrando che effettivamente la ventunesima è proprio quella pronosticata.
quale delle prime 20 carte è quella "vincente" che il mago ha memorizzato?(intendo in che posizione si trovava)
dimostrare per via algebrica che la carta vincente è proprio quella
un problema non proprio "olimpico"
Re: un problema non proprio "olimpico"
qualcuno vuole qualche hint?
Re: un problema non proprio "olimpico"
ok,metto la soluzione tanto per non lasciarlo cosi com'è
allora la carta è la tredicesima(se non ci credete potete provare oppure leggere la dimostrazione)
Dimostrazione
sia a+b il mazzo iniziale di 40 carte
ora sia a il mazzo che creeremo togliendo ad a+b 20 carte
abbiamo quindi che [tex]\displaystyle a=20,b=20[/tex] e la tredicesima carta(quella che memorizziamo) la chiamiamo [tex]\displaystyle k[/tex]
da [tex]\displaystyle b[/tex] si prendono 3 carte che chiamiamo [tex]\displaystyle z,y,x[/tex]
[tex]\displaystyle a[/tex] rimarra con tante carte quanto vale l'espressione
[tex]\displaystyle 17-(10-x)-(10-y)-(10-z)[/tex] perche 17 è il numero di carte di [tex]\displaystyle a[/tex] perchè gli è stato tolto [tex]\displaystyle z,y,x[/tex] e [tex]\displaystyle (10-x) (10-y) (10-z)[/tex] sono i complementari ad 1 delle carte trovate,cioè delle carte da togliere, dall'espressione ricaviamo
[tex]\displaystyle x+y+z-13[/tex] quindi il gioco funziona solo quando la somma delle 3 carte e [tex]\displaystyle \ge13[/tex],perche il mazzo a non puo rimanere con un numero negativo di carte
poi scriviamo [tex]\displaystyle x+(10-x)+y+(10-y)+z+(10-z)=30[/tex],la somma delle 3 carte scelte e delle complementari vale sempre 30,ma attenzione k+y+z rappresenta anche il numero di carte che verranno tolte da a+b cominciando da a
quindi scrriviamo un altra espressione [tex]\displaystyle x+z+y-13[/tex](numero di carte con cui rimane a)[tex]\displaystyle +20[/tex](carte di b)[tex]\displaystyle -(x+y+z)[/tex] (carte che verranno sottratte per le regole di gioco)
questa espressione vale sempre 7 qualsiasi sia il valore di [tex]\displaystyle x,y,z[/tex]
significa che alla fine le carte che rimangono nel mazzo a+b sono 7
significa che l'ultima carta ad essere tolta è l'ottava,ma nell'ordine originale è la tredicesima perche il mazzo è stato rigirato
C.V.D.
allora la carta è la tredicesima(se non ci credete potete provare oppure leggere la dimostrazione)
Dimostrazione
sia a+b il mazzo iniziale di 40 carte
ora sia a il mazzo che creeremo togliendo ad a+b 20 carte
abbiamo quindi che [tex]\displaystyle a=20,b=20[/tex] e la tredicesima carta(quella che memorizziamo) la chiamiamo [tex]\displaystyle k[/tex]
da [tex]\displaystyle b[/tex] si prendono 3 carte che chiamiamo [tex]\displaystyle z,y,x[/tex]
[tex]\displaystyle a[/tex] rimarra con tante carte quanto vale l'espressione
[tex]\displaystyle 17-(10-x)-(10-y)-(10-z)[/tex] perche 17 è il numero di carte di [tex]\displaystyle a[/tex] perchè gli è stato tolto [tex]\displaystyle z,y,x[/tex] e [tex]\displaystyle (10-x) (10-y) (10-z)[/tex] sono i complementari ad 1 delle carte trovate,cioè delle carte da togliere, dall'espressione ricaviamo
[tex]\displaystyle x+y+z-13[/tex] quindi il gioco funziona solo quando la somma delle 3 carte e [tex]\displaystyle \ge13[/tex],perche il mazzo a non puo rimanere con un numero negativo di carte
poi scriviamo [tex]\displaystyle x+(10-x)+y+(10-y)+z+(10-z)=30[/tex],la somma delle 3 carte scelte e delle complementari vale sempre 30,ma attenzione k+y+z rappresenta anche il numero di carte che verranno tolte da a+b cominciando da a
quindi scrriviamo un altra espressione [tex]\displaystyle x+z+y-13[/tex](numero di carte con cui rimane a)[tex]\displaystyle +20[/tex](carte di b)[tex]\displaystyle -(x+y+z)[/tex] (carte che verranno sottratte per le regole di gioco)
questa espressione vale sempre 7 qualsiasi sia il valore di [tex]\displaystyle x,y,z[/tex]
significa che alla fine le carte che rimangono nel mazzo a+b sono 7
significa che l'ultima carta ad essere tolta è l'ottava,ma nell'ordine originale è la tredicesima perche il mazzo è stato rigirato
C.V.D.
Re: un problema non proprio "olimpico"
complementari a 10 scusatewall98 ha scritto:[tex]\displaystyle (10-x) (10-y) (10-z)[/tex] sono i complementari ad 1 delle carte trovate