Bersaglio equilatero

[Gizeta]

Un bersaglio ha la forma di un triangolo equilatero di lato 2.

(a) Dimostrare che se il bersaglio viene colpito 5 volte esistono due fori che hanno una distanza tra di loro[tex]\le 1[/tex].

(b) Viene colpito 17 volte. Qual è la minima distanza, al massimo, tra due fori?

[lucaboss98]

il (b) è:
[tex]\frac {1}{3}[/tex] ?

[Gizeta]

A me viene un altro risultato.
Prova a scrivere il tuo ragionamento.

[lucaboss98]

A me viene un altro risultato.
Prova a scrivere il tuo ragionamento.

Nono hai ragione, ho sbagliato, però non so come arrivare ad una soluzione...

[Gizeta]

Ti lascio due hint per il punto A [scegli tu se guardarli o meno], il punto B è sostanzialmente identico.

Testo nascosto:

Pigeonhole principle: se [tex]n+1[/tex] piccioni sono inseriti in [tex]n[/tex] gabbie allora almeno una gabbia contiene più di un piccione

Testo nascosto:

Il triangolo mediale, ossia il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo, divide il triangolo iniziale in quattro triangoli congruenti. Il triangolo mediale di un triangolo equilatero è a sua volta equilatero.

Con questi dovresti risolverli quasi immediatamente

[lucaboss98]

Ti lascio due hint per il punto A [scegli tu se guardarli o meno], il punto B è sostanzialmente identico.

Testo nascosto:

Pigeonhole principle: se [tex]n+1[/tex] piccioni sono inseriti in [tex]n[/tex] gabbie allora almeno una gabbia contiene più di un piccione

Testo nascosto:

Il triangolo mediale, ossia il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo, divide il triangolo iniziale in quattro triangoli congruenti. Il triangolo mediale di un triangolo equilatero è a sua volta equilatero.

Con questi dovresti risolverli quasi immediatamente

Per il punto (a) [spero sia fatto bene e scritto chiaramente] Allora considerando il triangolo mediale del triangolo si ha che la distanza massima è [tex]1[/tex] perchè i punti che possono essere più distanti sono appunto i vertici del triangolo mediale (punti medi dei lati del triangolo equilatero di partenza).

Invece per il punto (b) si può considerare il triangolo mediale del triangolo mediale del triangolo mediale ..... del triangolo mediale.. (il quinto triangolo mediale) e quindi si ha che la distanza massimo è
[tex]\frac {l}{2^5}[/tex]
E quindi essendo [tex]l=2[/tex]
Si ha che la distanza massima di 17 punti è
[tex]\frac {1}{2^4} = \frac {1}{16}[/tex]
Giusto?

[Gizeta]

Non hai sfruttato il primo hint, vero?

Testo nascosto:

(a) Il triangolo mediale divide il triangolo equilatero di lato 2 in quattro triangoli equilateri congruenti di lato 1.
Devo prendere cinque punti dentro quattro spazi, per pigeonhole almeno uno spazio contiene minimo due punti, e la massima distanza tra questi è il lato di uno dei triangoli equilateri: 1.

Prova a creare delle "gabbie" della stessa dimensione nel secondo punto.

[lucaboss98]

Giusto, quindi si fanno i triangoli mediali dei 4 triangoli creati con il primo triangolo mediale, e poi ci sono 16 triangoli equilateri di lato [tex]\frac{1}{2}[/tex].
E 17 punti in 16 spazi c'è almeno uno spazio contenente due punti, quindi la distanza massima è
[tex]\frac{1}{2}[/tex].
Giusto?

[Gizeta]

Esatto



c) Sono piazzati cinque punti dentro un quadrato di lato 1. Dimostrare che almeno due di essi hanno una distanza [tex]\displaystyle \le \frac{2}{\sqrt{2}}[/tex] tra di loro.

d) Sono piazzati sette punti dentro un esagono regolare di lato 1. Dimostrare che almeno due di essi hanno una distanza [tex]\le 1[/tex] tra di loro.

ed il mio preferito

e) Dentro un quadrato [tex]1 \times 1[/tex] sono piazzati [tex]101[/tex] punti. Dimostrare che almeno tre di essi formano un triangolo con area [tex]\le 0,01[/tex]

[lucaboss98]

La (c) non dovrebbe essere [tex]≤ \frac {√2}{2}[/tex] ? perchè la diagonale è [tex]√2[/tex] e tracciate entrambe si divide si quadrato i 4 triangoli rettangoli-isosceli di lati [tex](\frac {√2}{2};\frac {√2}{2};1)[/tex]. Quindi avendo 5 punti in 4 spazi almeno 1 spazio deve contenere almeno 2 punti. Quindi la distanza massima è [tex]\frac{√2}{2}[/tex].
Per il (d) basta tracciare le 3 diagonali che vanno da un vertice a quello opposto. Così si formano 6 triangoli equilateri di lato 1. E avendo 7 punti in 6 spazi almeno 1 spazio deve contenere almeno 2 punti. Quindi la distanza massima è [tex]1[/tex].
Invece per l' (e) bisogna dividere i quadrato [tex]1 X 1[/tex] in 100 piccoli quadratini [tex]\frac {1}{10} X \frac {1}{10}[/tex] e quindi di Area [tex]\frac {1}{100} = 0.01[/tex].
Adesso avendo 101 punti in 100 spazi almeno 1 spazio nè ha 2 e quindi presi questi 2 ( con distanza massima fra loro pari a [tex]\frac{√2}{10}[/tex] ) . Il più lontano dai 2 di un quadrato adiacente può distare al più [tex]\frac {√2}{10}[/tex] da uno dei due tralaltro formando un angolo retto. Quindi l'Area di questo triangolino sarebbe esattamente [tex]\frac{1}{100} = 0.01[/tex].
Spero sia corretto.