2 - Coloriamo il piano!

[Drago]

Rimango sui classici...

Dimostrare che in qualunque modo si colori il piano con 2 colori si può sempre trovare un triangolo equilatero i cui vertici hanno lo stesso colore.

[Gizeta]

Accidenti, l'ho già risolto altrove; rispondo fra un po' di tempo sse non risponde nessuno

[aetwaf]

Stessa situazione!!

[Livex]

Eh io no

Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa.

Sappiamo che un esagono equilatero è composto da 6 triangoli equilateri, perciò consideriamo un esagono equilatero nel piano, poniamo WLOG che il punto d'incontro tra le diagonali maggiori (cioè il punto in comune ai triangoli) sia di colore A, devono esserci assolutamente almeno due vertici di colore A perchè altrimenti esisterebbero due triangoli equilateri che hanno come vertici un vertice si e un vertice no dell'esagono, rispettivamente.

Devono esserci almeno 3 vertici di colore B, al minimo uno per tringolo, perchè altrimenti ci sarebbe almeno un triangolo equilatero con i vertici dello stesso colore, dunque esistono al massimo 3 vertici di colore A.

Abbiamo quindi al minimo 2 e al massimo 3 punti di colore A tra i vertici dell'esagono.

Caso con 2: Siano [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] questi due vertici, andando in senso orario, sia [tex]n[/tex] il numero di vertici compresi tra [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], se [tex]n[/tex] è dispari, abbiamo un triangolo equilatero che soddisfa la tesi che ha un vertice tra x e y e gli altri due "scalando" in senso orario e antiorario di 2 partendo da quel vertice. Se n è pari, o è 0 o 2 o 4, il caso con 4 si tratta come il caso con 0 solo andando in senso antiorario, perciò 0 e 2, nel caso n=0 abbiamo che i due vertici di colore A sono attaccati, ma essi allora formano un triangolo equilatero con il centro dell'esagono, quindi no. Quando n=2 abbiamo che x e y sono diametralmente opposti, di conseguenza tutti gli altri vertici dell'esagono sono di colore B, consideriamo una coppia di vertici consecutivi B-B ed il triangolo equilatero ottenuto facendo la simmetria sull'asse B-B del centro A, esso non può avere il vertice esterno all'esagono di colore B, perchè altrimenti avremmo un triangolo equilatero B-B-B. ma neanche A, perchè avremmo il triangolo equilatero A-A-A composto da questo vertice e da x e y precedentemente trovati.

Caso con 3: Quà è facile, i vertici di colore A sono alternati a vertici di colore B, se non fosse cosi avremmo un triangolo equilatero A-A-A, ma cosi abbiamo due triangoli equilateri costruiti prendendo i vertici dell'esagono alternando (cioè uno si, uno no ecc.)

Con una figura sarebbe tutto più facile.

[nil]

Eh io no

Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa.

Sappiamo che un esagono equilatero è composto da 6 triangoli equilateri, perciò consideriamo un esagono equilatero nel piano, poniamo WLOG che il punto d'incontro tra le diagonali maggiori (cioè il punto in comune ai triangoli) sia di colore A, devono esserci assolutamente almeno due vertici di colore A perchè altrimenti esisterebbero due triangoli equilateri che hanno come vertici un vertice si e un vertice no dell'esagono, rispettivamente.

Devono esserci almeno 3 vertici di colore B, al minimo uno per tringolo, perchè altrimenti ci sarebbe almeno un triangolo equilatero con i vertici dello stesso colore, dunque esistono al massimo 3 vertici di colore A.

Abbiamo quindi al minimo 2 e al massimo 3 punti di colore A tra i vertici dell'esagono.

Caso con 2: Siano [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] questi due vertici, andando in senso orario, sia [tex]n[/tex] il numero di vertici compresi tra [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], se [tex]n[/tex] è dispari, abbiamo un triangolo equilatero che soddisfa la tesi che ha un vertice tra x e y e gli altri due "scalando" in senso orario e antiorario di 2 partendo da quel vertice. Se n è pari, o è 0 o 2 o 4, il caso con 4 si tratta come il caso con 0 solo andando in senso antiorario, perciò 0 e 2, nel caso n=0 abbiamo che i due vertici di colore A sono attaccati, ma essi allora formano un triangolo equilatero con il centro dell'esagono, quindi no. Quando n=2 abbiamo che x e y sono diametralmente opposti, di conseguenza tutti gli altri vertici dell'esagono sono di colore B, consideriamo una coppia di vertici consecutivi B-B ed il triangolo equilatero ottenuto facendo la simmetria sull'asse B-B del centro A, esso non può avere il vertice esterno all'esagono di colore B, perchè altrimenti avremmo un triangolo equilatero B-B-B. ma neanche A, perchè avremmo il triangolo equilatero A-A-A composto da questo vertice e da x e y precedentemente trovati.

Caso con 3: Quà è facile, i vertici di colore A sono alternati a vertici di colore B, se non fosse cosi avremmo un triangolo equilatero A-A-A, ma cosi abbiamo due triangoli equilateri costruiti prendendo i vertici dell'esagono alternando (cioè uno si, uno no ecc.)

Con una figura sarebbe tutto più facile.

ecco qui

[Drago]

Sì, funziona... scusa, mi ero dimenticato di controllarla...
P.S: so he funziona anche con $ n $ colori, ma la mia dimostrazione passa per un teorema abbastanza potente... non ho provato, ma magari nel caso di 3 potrebbe essere più facile (l'idea è sempre di costruire triangoli euquilateri di dimensioni diverse e che si sovrappongono, in particolare pensando a diverse file successive...)

[xXStephXx]

Qual è il teorema potente? Tempo fa ci avevo provato invano xD
Per caso c'è qualcosa che da la certezza che su una retta posso trovare un numero grande a piacimento di punti equidistanti colorati con lo stesso colore?

[Drago]

Per caso c'è qualcosa che da la certezza che su una retta posso trovare un numero grande a piacimento di punti equidistanti colorati con lo stesso colore?

Esattamente!
Vediamo se da buon investigatore riesci a trovarlo...

[xXStephXx]

eh ma avevo provato a cercarlo su google senza successo xD

[Drago]

ti do un indizio: se ne era parlato anche su oliforum... (e nel titolo c'era un doppiosenso degno di troleito xD)