5. Un gioco con i numeri

[lucaboss98]

Alberto e Bruno stanno giocando ad un gioco.
Si parte da un numero [tex]n[/tex] e ad ogni mossa si può passare o a [tex][ \dfrac{n}{2} ][/tex] (La parte intera di [tex]\dfrac{n}{2}[/tex] ) oppure a [tex]n–1[/tex] e vince chi lascia all' avversario uno [tex]0[/tex].
Supponendo che entrambi applichino la migliore strategia e che inizia Alberto, determinare chi vince in funzione di [tex]n[/tex] .

[Omega3]

Giusto per chiarimento se per esempio ho 5 la parte intera di 5/2 è 2?

[nil]

Giusto per chiarimento se per esempio ho 5 la parte intera di 5/2 è 2?

Sì : $[2.5] = 2$

[Omega3]

dispari vince Alberto, pari l'altro?

[Half95]

dispari vince Alberto, pari l'altro?

Non è detto ad esempio con 4 alberto vince se non ho capito male

[lucaboss98]

dispari vince Alberto, pari l'altro?

Non è detto ad esempio con 4 alberto vince se non ho capito male

Sì dispari vince Alberto, appunto, come hai detto, con [tex]4[/tex] vince sempre Alberto, quindi la distinzione non è pari-dispari

[lucaboss98]

Con [tex]8[/tex] chi vince? e con [tex]16[/tex] ?

[Half95]

se nella fattorizzazione il 2 compare con esponente dispari vince bruno con esponente pari alberto

[lucaboss98]

se nella fattorizzazione il 2 compare con esponente dispari vince bruno con esponente pari alberto

Esattamente, ti manca solo dimostrare che da un numero con massimo esponente del [tex]2[/tex] che lo divida dispari può solo passare a uno con massimo esponente pari e che uno con massimo esponente pari può sempre passare ad uno con esponente dispari, poi osservando che si vince solo con [tex]1[/tex] e che tale numero ha massimo esponente pari è fatta, dimostra queste due cose e posta pure il prossimo

[lucaboss98]

Ok dimostro io , e Half95 puoi andare con il prossimo:
Passo 1: Da un numero la cui massima potenza di [tex]2[/tex] che lo divide è dispari sono obbligato ad andare ad un numero che non appartiene a tale categoria.
Sia [tex]n=2^{2k+1} \cdot (2h+1)[/tex]
Attuo la prima mossa ed ho [tex]n' = 2^{2k} \cdot (2h+1)[/tex] , la cui massima potenza di [tex]2[/tex] è pari.
Attuo la seconda mossa ed ho [tex]n'=2m+1[/tex] (in quanto un pari meno [tex]1[/tex] è un dispari), la cui massima potenza di [tex]2[/tex] è [tex]0[/tex] e quindi pari.
Passo 2: Da un numero la cui massima potenza di [tex]2[/tex] che lo divide è pari posso sempre passare ad un che non appartiene a tale categoria.
Divido in due casi.
i) [tex]n=2k+1[/tex] con una mossa ho [tex]n'=k[/tex] con l'altra [tex]n'=2k[/tex] , uno dei due quindi avrà massima potenza dispari.
ii) [tex]n=2^{2k} \cdot (2h+1)[/tex] con [tex]k≥1[/tex]
Attuo la prima mossa ed ho [tex]n=2^{2k-1} \cdot (2h+1)[/tex] che ha massima potenza dispari (e poi [tex]2k-1≥1[/tex] ).
Ora visto che l'unico numero con cui si può vincere è [tex]1[/tex] , poichè vince con entrambe le mosse , e di un qualsiasi [tex]n≥2[/tex] ho [tex][ \dfrac{n}{2} ] ≥ 1[/tex] e [tex]n-1 ≥ 1[/tex], e che [tex]1[/tex] ha massima potenza di [tex]2[/tex] che lo divide pari a [tex]0[/tex] e quindi pari, si ha che, appunto, se la massima potenza è pari vince Alberto, se è dispari vince Bruno.